陕西省榆林市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1, 0, 1, 2} ， B = {x | - 1 < x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项都是正数，且 $a_{3} a_{7} = 9$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、9 B、-3 C、3 D、±3

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3. 若 $α \in R$ ， $\sin α \cdot \cos α < 0$ ， $\tan α \cdot \sin α < 0$ ，则 $α$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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4. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{A M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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6. 已知 $x < - 1$ ，那么在下列不等式中，不成立的是（）

A、 $x^{2} - 1 > 0$ B、 $x + \frac{1}{x} < - 2$ C、 $\sin x - x > 0$ D、 $\cos x + x > 0$

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7. 已知直线 $l \subset$ 平面 $α$ ，则“直线 $m ⊥$ 平面 $α$ ”是“ $m ⊥ l$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知过点 $M (2, - 4)$ 的直线l与圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ 相切，且与直线 $a x - 2 y + 3 = 0$ 垂直，则实数a的值为（）

A、4 B、2 C、-2 D、-4

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9. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x$ ，若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [2 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] \cdot (x_{1} - x_{2}) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$

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10. 边长为4的正方形 $A B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 上， $O A$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、64π B、32π C、16π D、128π

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11. 已知 $S_{n} = n^{2} + n + a + 1$ 是一个等差数列的前 $n$ 项和，对于函数 $f (x) = x^{2} - a x$ ，若数列 ${\frac{1}{f (n)}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{2020}$ 的值为（）

A、 $\frac{2021}{2022}$ B、 $\frac{2018}{2019}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{2020}{2021}$

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、(1,2), C、 $(2, + \infty)$ D、 $(1, 2]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 不共线， $\vec{c} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = m \vec{a} + (m + 2) \vec{b}$ ，若 $\vec{c} // \vec{d}$ ，则实数 $m =$ .

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14. 某商店的有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为.

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15. 为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度 $C$ (单位： $mg / L$ )随时间 $t$ (单位： $h$ )的变化关系为 $C = \frac{24 t}{t^{2} + 9}$ ，则池水中药品的浓度最大可达到 $mg / L$ .

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，将函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图像，现有如下命题： $p_{1}$ ：函数 $g (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ； $p_{2}$ ：函数 $g (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 上单调递增； $p_{3}$ ：函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1 ， 2]$ .则下述命题中所有真命题的序号是.
① $(\neg p_{2}) \land p_{3}$ ；② $p_{1} \lor (\neg p_{3})$ ；③ $p_{2} \lor p_{3}$ ；④ $p_{1} \land p_{2}$ .

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三、解答题

17.

(1)、解不等式 $\frac{2 x - 5}{x - 3} \geq 0$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1 (m \neq 0)$ ，若 $f (x) < 0$ 对于一切实数 $x$ 都成立，求 $m$ 的取值范围.

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{7} = 14$ ， $a_{2} + a_{12} = 10$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，证明数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求其前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} C - \sin^{2} B = \frac{2}{3} \sin A \sin C$ ， $c = 2$ .

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、设 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $B D = A D = 2 D C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图 $1$ .

(1)、该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？

(2)、为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图2.若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.

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21. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，抛物线 $C_{2}$ 的焦点与椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F$ 重合， $C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合.过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C$ ， $D$ 两点.

(1)、求 $\frac{A B}{C D}$ 的值；

(2)、设 $M$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点，若 $O M = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程.

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $B D E F$ 均为菱形， $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ ，且 $F A = F C$

(1)、求证：平面 $A C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - F C - B$ 的余弦值.

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