江西省贵溪市贵溪一中2021届高三上学期理数第三次月考试卷

试卷更新日期：2021-01-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | y = \sqrt{x}}, N = {y | y = x^{2} - 2, x \in R}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- 2, + \infty)$ C、 $\emptyset$ D、 $[- 2, 0)$

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2. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $a + b < 0$ D、 $| a | + | b | > | a + b |$

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3. 下列说法不正确的是（）

A、若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B、命题“ $\exists x \in R ， x^{2} - x - 1 < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R ， x^{2} - x - 1 \geq 0$ ” C、“ $φ = \frac{π}{2}$ ”是“ $y = \sin (2 x + φ)$ 为偶函数”的充要条件 D、当 $α < 0$ 时，幂函数 $y = x^{α} 在 (0 ， + \infty)$ 上单调递减

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4. 记f（x）=2^|^x^| ， a=f $(\log_{\frac{1}{3}} 4) ， b = f (\log_{2} 5$ ），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）

A、a＜b＜c B、c＜a＜b C、a＜c＜b D、c＜b＜a

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则向量 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 在向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{13}$ B、 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{5 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{19 \sqrt{13}}{13}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x < 2 \\ \frac{3}{x - 1} ， x \geq 2. \end{array}$ 若方程 $f (x) - a = 0$ 有三个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $(1 ， 3)$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 1 + 2 a_{n} (n \geq 2)$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、 $2^{19} - 1$ B、 $2^{21} - 2$ C、 $2^{19} + 1$ D、 $2^{21} + 2$

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8. 若函数 $f (x) = k a^{x} - a^{- x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上既是奇函数又是增函数，则 $g (x) = \log_{a} (x + k)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 $1$ ，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A、 $7 + 3 \sqrt{5}$ B、 $7 + 2 \sqrt{5}$ C、 $\frac{11}{2} + 3 \sqrt{5}$ D、 $\frac{11}{2} + 2 \sqrt{5}$

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10. 已知点 $(m + n ， m - n)$ 在 ${\begin{cases} x - y \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ 2 x - y \geq 2 \end{cases}$ 表示的平面区域内，则 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) > 1 - f^{'} (x)$ ， $f (0) = 0$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} - 1$ （其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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12. 将函数 $f (x) = \cos x$ 的图象先向右平移 $\frac{5}{6} π$ 个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ $(ω > 0)$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{9}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{8}{9}]$ B、 $(0, \frac{2}{9}]$ C、 $(0, \frac{2}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1]$ D、 $(0, 1]$

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二、填空题

13. 由直线y=1，y=2，曲线xy=1及y轴所围成的封闭图形的面积是．

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14. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中，已知 $A B = A C = \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ .将它沿 $B C$ 边上的高 $A D$ 翻折，使 $B$ 点与 $C$ 点的距离为1，则四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为.

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15. 各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{7} = 4 ， a_{6} = 8$ ，若函数 $f (x) = a {}_{1}x + a_{2} x {}^{2}+ a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} x^{10}$ 的导数为 $f' (x)$ ，则 $f' (\frac{1}{2})$ ＝.

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16. 已知 $a, b$ 为正实数，直线 $y = x - a$ 与曲线 $y = \ln (x + b)$ 相切，则 $\frac{a^{2}}{2 + b}$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{m} = (2 \sqrt{3} \sin \frac{x}{2}, 2)$ ， $\vec{n} = (\cos \frac{x}{2}, \cos^{2} \frac{x}{2})$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求方程 $f (x) = 0$ 在区间 $[- 2 π, 2 π]$ 的解集；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足 $(2 a - c) \cos B = b \cos C$ ，求 $f (A)$ 的取值范围.

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18. 如图所示， $A$ 、 $B$ 分别是单位圆与 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴的交点，点 $P$ 在单位圆上， $∠ A O P = θ (0 < θ < π)$ ，点 $C$ 坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，平行四边形 $O A Q P$ 的面积为 $S$ .

(1)、求 $t = \vec{O A} \cdot \vec{O Q} + S$ 的最大值；

(2)、若 $\vec{C B} // \vec{O P}$ ，求 $\sin (2 θ - \frac{π}{3})$ .

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19. 已知四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B // D C$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C E = A D = D C = B C = 1$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $F$ 为线段 $B E$ 上的点， $\vec{E F} = \frac{1}{3} \vec{E B}$ .

(1)、证明： $O F //$ 平面 $C E D$ ；

(2)、求平面 $A D F$ 与平面 $B C E$ 所成二面角的余弦值.

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20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\vec{a} = (a_{1}, 1)$ ， $\vec{b} = (1, a_{10})$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 24$ ，且 $S_{11} = 143$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且满足 $2^{a_{n} - 1} = λ T_{n} - (a_{1} - 1)$ （ $n \in N^{*}$ ）．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ ；

（Ⅱ）是否存在非零实数 $λ$ ，使得数列 ${b_{n}}$ 为等比数列？并说明理由．

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21. 已知 $f (x) = \ln (m x + 1) - 2 (m \neq 0)$ ．
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $m > 0 ， g (x) = f (x) + \frac{4}{x + 2}$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x {}_{2}$ 且 $g (x_{1}) + g (x_{2}) < 0$ ，求 $m$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = a + \sqrt{5} \cos α, \\ y = \sqrt{5} \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} t, \\ y = \sqrt{2} t, \end{array}$ （ $t$ 为参数），设原点 $O$ 在圆 $C$ 的内部，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点；以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求直线 $l$ 和圆 $C$ 的极坐标方程，并求 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： ${| O M |}^{2} + {| O N |}^{2}$ 为定值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + 2 | x - 3 |$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值M；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = M$ ，证明： $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 1} \geq 1$ .

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