浙教版备考2021年中考数学一轮复习专题9——分式方程及其应用

试卷更新日期：2021-01-25 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若 $\frac{1}{x} = - 4$ ，则x的值是（）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、﹣4

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2. 下面是分式方程的是（）.

A、 $\frac{1}{2 x - 3} + \frac{4}{x + 9}$ B、 $\frac{2 x + 1}{7} = \frac{5 x - 6}{3}$ C、 $\frac{1}{2} x + 5 = \frac{2}{3} (x - 6)$ D、 $\frac{3}{x - 1} + \frac{2}{2 x + 1} = 1$

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3. 把方程 $3 x + \frac{2 x - 1}{3} = 3 - \frac{x + 1}{2}$ 去分母正确的是（）

A、 $18 x + 2 (2 x - 1) = 18 - 3 (x + 1)$ B、 $3 x + (2 x - 1) = 3 - (x + 1)$ C、 $18 x + (2 x - 1) = 18 - (x + 1)$ D、 $3 x + 2 (2 x - 1) = 3 - 3 (x + 1)$

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4. 若关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 3} + \frac{2}{3 - x} = 1$ 的解是正数，则m的取值范围是（）

A、 $m \neq 3$ B、 $m > - 1$ C、 $m \neq 2$ D、 $m > - 1$ 且 $m \neq 2$

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5. 若关于x的分式方程 $\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{m}{x - 3}$ 有增根，则m的值是（）

A、﹣3 B、1 C、2 D、3

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6. 甲、乙两地的铁路长240千米，动车运行后的平均速度是原来慢车的2倍，这样甲地到乙地的行驶时间缩短了1.5小时.设原来慢车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（　　）

A、 $\frac{240}{x} + 2 = \frac{240}{1.5 x}$ B、 $\frac{240}{x} + 1.5 = \frac{240}{2 x}$ C、 $\frac{240}{x} - 2 = \frac{240}{1.5 x}$ D、 $\frac{240}{x} - 1.5 = \frac{240}{2 x}$

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7. 用换元法解方程 $\frac{3 x}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{7}{2}$ ，设 $\frac{x}{x^{2} - 1} = y$ ，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（）

A、 $3 y + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}$ B、 $2 y^{2} - 7 y + 2 = 0$ C、 $3 y^{2} - 7 y + 1 = 0$ D、 $6 y^{2} - 7 y + 2 = 0$

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二、填空题

8. 已知 $\frac{2 a + 3 b}{a + 2 b}$ ＝ $\frac{12}{5}$ ，则 $\frac{a}{b}$ .

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9. 分式 $\frac{3 - x}{2 - x}$ 的值比分式 $\frac{1}{x - 2}$ 的值大3，则x为.

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10. 一小包柠檬茶冲剂，用180克开水可冲泡成浓度为10%的饮料，这包柠檬茶冲剂有克.

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11. 某垃圾处理厂日处理垃圾 $3600$ 吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高 $20 %$ ，这样日处理同样多的垃圾就少用 $3 h$ .若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为 $x$ 吨，则可列方程.

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12. 某市为治理污水，需要铺设一段全长600 m的污水排放管道，铺设120 m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20 m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为.

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13. 若分式方程 $\frac{x - a}{x + 1}$ ＝a 无解，则a的值为.

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14. 若关于x的方程 $\frac{2 x - a}{x + 1} = 0$ 的解为负数，则a的取值范围为.

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三、综合题

15. 解方程：

(1)、 $\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{x^{2} - 1}$

(2)、 $\frac{y - 2}{y - 3} = 2 - \frac{1}{3 - y}$

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16. 如图，学校要规划改造一块总面积为360平方米的矩形绿化区域ABCD．方案设计时发现，不改变绿化区域总面积，将矩形一边AB的长扩大为原来的2倍时，另一边AC与原来相比较则会减少4米．求原来矩形的边AB的长．

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17. 房山区某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班乘坐的甲车出发10分钟后，乙班乘坐的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．

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18. 为了提升阅读速度，某中学开设了高效阅读课．小静经过2个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小静现在每分钟阅读的字数．

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19. 某船逆水航行．船员不小心将一木桶掉入水中.5分钟后才发现，掉转船头去追木桶．问过了多久，才能追上?

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20. 端午节是中华民族的传统节日，全国各地素来都有端午节吃粽子的习俗．在今年端午节前夕，某商场采购了一批甲、乙两种品牌的粽子共600盒，其中采购甲品牌粽子花费7200元，采购乙品牌粽子花费9600元，已知每盒甲品牌粽子的进价是乙品牌粽子进价的1.5倍．

(1)、求该商场采购的甲、乙两种品牌的粽子每盒进价分别是多少元．

(2)、该商场原计划确定甲品牌粽子的售价为60元/盒，乙品牌粽子的售价为32元/盒．后调整销售策略，对甲品牌粽子进行打折销售，乙品牌粽子按原价售出．若要使购进的甲、乙两种品牌的粽子全部售出后所获利润不低于5600元，则每盒甲品牌粽子最低能打几折？

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21. 某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动，首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。

(1)、求文化宫第一批购进书包的单价是多少？

(2)、商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？

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22. 阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程： $\frac{x - 1}{x}$ － $\frac{4 x}{x - 1}$ ＝0.

解：设y＝ $\frac{x - 1}{x}$ ，则原方程可化为y－ $\frac{4}{y}$ ＝0，方程两边同时乘y ，得y²－4＝0，解得y₁＝2，y₂＝－2.

经检验，y₁＝2，y₂＝－2都是方程y－ $\frac{4}{y}$ ＝0的解．

当y＝2时， $\frac{x - 1}{x}$ ＝2，解得x＝－1；当y＝－2时， $\frac{x - 1}{x}$ ＝－2，解得x＝ $\frac{1}{3}$ .

经检验，x₁＝－1，x₂＝ $\frac{1}{3}$ 都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x₁＝－1，x₂＝ $\frac{1}{3}$ .

上述这种解分式方程的方法称为换元法．

问题：

(1)、若在方程 $\frac{x - 1}{4 x}$ － $\frac{x}{x - 1}$ ＝0中，设y＝ $\frac{x - 1}{x}$ ，则原方程可化为；

(2)、若在方程 $\frac{x - 1}{x + 1}$ － $\frac{4 x + 4}{x - 1}$ ＝0中，设y＝ $\frac{x - 1}{x + 1}$ ，则原方程可化为；

(3)、模仿上述换元法解方程： $\frac{x - 1}{x + 2}$ － $\frac{3}{x - 1}$ －1＝0.

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