河北省张家口市2021届高三上学期数学第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-01-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x < 0}, B = {x | x^{2} + 3 x - 4 > 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B)$ 等于（）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | 1 \leq x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 2}$

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2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）

A、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ B、 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = l n | x |$

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3. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 7$ ， $B C = 5$ ， $C A = 3$ ，则 $\vec{B C}$ 与 $\vec{C A}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 若幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(27, 3 \sqrt{3})$ ，则函数 $f (x - 1) - f^{2} (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、-1

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5. 函数 $y = x^{3} + \log_{3} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x} - 1$ ，若 $f (6 - a^{2}) > f (- a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 3, 2)$ C、 $(- 2, 3)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (2, + \infty)$

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7. 已知 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 2$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期和一个单调减区间分别为（）

A、 $2 π ， [\frac{3 π}{8} ， \frac{7 π}{8}]$ B、 $π ， [\frac{3 π}{8} ， \frac{7 π}{8}]$ C、 $2 π ， [- \frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8}]$ D、 $π ， [- \frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8}]$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos^{2} \frac{A}{2} = \frac{c + b}{2 c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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二、多选题

9. 已知集合 $P = {x | 0 < x \leq 6}, Q = {y | 0 \leq y \leq 2}$ ，下列从 $P$ 到 $Q$ 的各对应关系 $f$ 是函数的是（）

A、 $f : x \to y = \frac{1}{2} x$ B、 $f : x \to y = x^{\frac{1}{3}}$ C、 $f : x \to y = \ln x$ D、 $f : x \to y = \sqrt{x}$

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10. 下列有关向量命题，不正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、已知 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$

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11. 下列命题中，正确的是（）

A、在 $Δ A B C$ 中， $A > B$ ， $∴ \sin A > \sin B$ B、在锐角 $Δ A B C$ 中，不等式 $\sin A > \cos B$ 恒成立 C、在 $Δ A B C$ 中，若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $Δ A B C$ 必是等腰直角三角形 D、在 $Δ A B C$ 中，若 $B = 60^{0}$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $Δ A B C$ 必是等边三角形

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12. 将函数 $f (x) = 2 \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到 $g (x)$ 的图象，下列四个结论不正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上为增函数 B、将函数 $g (x)$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称 C、点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是函数 $g (x)$ 图象的一个对称中心 D、函数 $g (x)$ 在 $[π ， 2 π]$ 上的最大值为4

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三、填空题

13. 函数 $y = \log_{3} (x^{2} + 2 x - 8)$ 的单调增区间是．

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14. 函数 $y = \ln (\sin x) + \sqrt{25 - x^{2}}$ 的定义域为．

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15. 已知向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为60°．且 $| \vec{A B} | = 4, | \vec{A C} ∣ = 3$ ，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + \vec{A C}$ ，且 $\vec{A P} ⊥ \vec{B C}$ ，则实数 $λ$ 的值是．

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16. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x - 2}$ 的切线，也是曲线 $y = e^{x} - 1$ 的切线，则 $b =$ ．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x + 2 \sin x \cos x + 2$ ．

(1)、求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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18. $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a \sin A \sin B - b \sin^{2} A = \sqrt{2} a - b$ ．

(1)、求 $\frac{b}{a}$ ；

(2)、若 $c^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a^{2}$ ，求 $B$ ．

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19. 已知 $α, β$ 为锐角， $\cos β = \frac{\sqrt{5}}{5}, \cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan (α - β)$ 的值．

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20. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，外接圆半径为2，若 $\vec{m} = (\frac{a}{4}, \frac{b}{4})$ ， $\vec{n} = (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}, \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = \sin 2 C$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $\sin A, \sin C, \sin B$ 成等差数列，且 $\vec{C A} \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 18$ ，求 $c$ 的长．

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21. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin (π - x) \cdot \cos (π + x) - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调递减区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $f (A) = - 1 ， a = 2 ， b \sin C = a \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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22. 设函数 $f (x) = x e^{x} + a (1 - e^{x}) + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有唯一零点，证明： $2 < a < 3$ .

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