天津市滨海新区开发区一中2020-2021学年高一上学期数学12月阶段性检测试卷

试卷更新日期：2021-01-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = x^{2} + x$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值是（）

A、2 B、0 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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2. 已知集合 $A = {x | 1 \leq 2^{x} \leq 4}$ ，集合 $B = {x | y = \log_{2} (x^{2} - x)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1] \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $(1, 2)$

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3. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x - 2, x \leq 0 \\ - 1 + \ln x, x > 0 \end{array}$ 的零点个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. 给出下列3个结论，其中正确的个数是（）
① $196 °$ 是第三象限角；② $- \frac{3 π}{4}$ 是第二象限角；③ $- 15 ° = \frac{π}{12}$ .

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. 设 $a = \log_{2} e$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，其中 $e$ 为自然对数底数，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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6. 若函数 $f (x) = (m + 3) x^{a} (m, a \in R)$ 是幂函数，且其图像过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则函数 $g (x) = \log_{a} (x^{2} + m x - 3)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + a x - 3 a, & x \geq 1 \\ 2 a x + 1, & x < 1 \end{array}$ 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2}, 0)$ B、 $[- \frac{1}{2}, 0)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, 0)$

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8. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减，则（）

A、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) > f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (2^{- \frac{2}{3}})$ B、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) > f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (2^{- \frac{3}{2}})$ C、 $f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (\log_{3} \frac{1}{4})$ D、 $f (2^{- \frac{2}{3}}) > f (2^{- \frac{3}{2}}) > f (\log_{3} \frac{1}{4})$

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9. 已知函数 $f (x) = | 2^{x} - 1 |$ ，当 $a < b < c$ 时有 $f (a) > f (c) > f (b)$ ，则必有（）

A、 $a < 0$ ， $b < 0$ ， $c < 0$ B、 $a < 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ C、 $2^{- a} < 2^{c}$ D、 $1 < 2^{a} + 2^{c} < 2$

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二、多选题

10. 若 $a, b \in R$ ，且 $a b > 0$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ B、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{a b}}$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$

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三、填空题

11. 已知函数 $f (x) = - 2 \log_{2} (x - 1) + 2$ 的图象过定点 $(a, b)$ ，则 $a + b =$ .

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12. 若用二分法求方程 $2 x^{3} + 3 x - 3 = 0$ 在初始区间 $(0, 1)$ 内的近似解，第一次取区间的中点为 $x_{1} = \frac{1}{2}$ ，那么第三次取区间的中点为 $x_{3} =$ .

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13. 某企业员工10月份收入为 $M$ ，11月份收入比10月份增加 $10 %$ ，由于疫情的影响，预计12月份比11月份减少 $10 %$ ，设12月份收入为 $N$ ，则 $M$ ， $N$ 的大小关系(用 $=$ ， $\leq$ ， $\geq$ ， $<$ ， $>$ 五选一填空)是MN .

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14. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = \log_{2} x$ ，则不等式 $f (x) < - 1$ 的解集是.

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15. 函数 $y = \log_{0.4} (- x^{2} + 3 x + 4)$ 的值域是.

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16. 若方程 $| 2^{x} - 2 | + 1 - m = 0$ 有两个不同实数解，则实数 $m$ 的取值范围为.

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17. 下列命题正确的序号为.
（1）命题“ $\forall x \in R$ ， $1 < f (x) \leq 2$ ”的否定形式是“ $\exists x \in R$ ， $1 \leq f (x) < 2$ ”；（2）若函数 $f (x) = \log_{a} (x^{2} + 2 x + k)$ (其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )的值域为 $R$ ，则实数 $k$ 的范围为 $k \geq 1$ ；（3）函数 $f (x) = \log_{a} (6 - a x)$ 在 $[0, 2]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $(1, 3)$ ；（4）已知函数 $f (x) = | \lg x |$ ，若 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则 $a b \geq 1$ .

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四、解答题

18. 已知全集 $U = {x | x \leq 4}$ ，集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ .求： $A \cup B$ ， $(∁_{U} A) \cup B$ ， $A \cap (∁_{U} B)$ .

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19. 求值：

(1)、计算 ${(- 0.12)}^{0} + {(\frac{3}{2})}^{- 2} \times {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} - {(\sqrt{3 \sqrt{3}})}^{\frac{4}{3}} + \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}}$ ；

(2)、计算 $(\log_{3} 2 + \log_{9} 2) \cdot (\log_{4} 3 + \log_{8} 3)$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义加以证明.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ ， $g (x) = \log_{2} (3 x + 1)$ .

(1)、求出使 $f (x) \geq g (x)$ 成立的 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in [0, + \infty)$ 时，求方程 $t = g (x) - f (x)$ 有解时 $t$ 的取值范围.

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22. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ $a^{x}$ －1.其中 $a$ >0且 $a$ ≠1.

(1)、求f(2)＋f(－2)的值；

(2)、求f(x)的解析式；

(3)、解关于x的不等式－1<f(x－1)<4．

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