河北省沧州市运东七县2020-2021学年高二上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2021-01-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p : \forall x < 2, x^{3} - 8 < 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x \geq 2, x^{3} - 8 \geq 0$ B、 $\forall x \leq 2, x^{3} - 8 > 0$ C、 $\forall x > 2, x^{3} - 8 > 0$ D、 $\exists x < 2, x^{3} - 8 \geq 0$

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2. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两焦点，点 $P$ 在椭圆上，若线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，则 $\frac{| P F_{2} |}{| P F_{1} |}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{9}$

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3. 在平行六面体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{D_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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4. 某校举行2020年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）

A、85，0.4 B、85，0.8 C、84，0.6 D、84，1.8

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5. 先后抛掷两枚骰子，骰子朝上的点数分别记为 $x$ ， $y$ ，则满足 $\log_{x} y = 1$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{36}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{12}$

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6. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）

A、甲地：总体均值为3，中位数为4 B、乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C、丙地：中位数为2，众数为3 D、丁地：总体均值为2，总体方差为3

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7. 某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：

高一年级

高二年级

高三年级

跑步

a

b

c

登山

x

y

z

其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的 $\frac{2}{5}$ .为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取（）．

A、36人 B、60人 C、24人 D、30人

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8. 已知 $p : | x + 1 | \geq 2$ ， $q : x \geq a$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 1$ C、 $a \geq - 3$ D、 $a > - 3$

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二、多选题

9. 下列有关线性回归的说法，正确的有（）

A、相关关系的两个变量不一定是因果关系 B、散点图能直观地反映数据的相关程度 C、回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D、任一组数据都有线性回归方程

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的一条切线，与圆相切于点 $B$ ，与双曲线的右支交于点 $C$ ，且 $| B C | = | C F_{2} |$ ，则有关双曲线的说法正确的有（）

A、双曲线渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、双曲线渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、双曲线的离心率等于 $\sqrt{5}$ D、双曲线的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E， $∠ E P F$ 的外角平分线交x轴于点Q，过Q作 $Q N ⊥ P E$ 交 $E P$ 的延长线于 $N$ ，作 $Q M ⊥ P F$ 交线段 $P F$ 于点 $M$ ，则（）

A、 $| P E | = | P F |$ B、 $| P F | = | Q F |$ C、 $| P N | = | M F |$ D、 $| P N | = | K F |$

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12. 下列四个结论正确的是（）

A、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ 或 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = \frac{π}{2}$ B、若空间中点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $\vec{O C} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、空间中任意向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 都满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 2, x, 4)$ ，若 $x < \frac{2}{5}$ ，则 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 为钝角

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三、填空题

13. 抛物线y=ax²(a≠0)的准线方程为．

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14. 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为 $a$ ，最大频率为0.32，则 $a$ 的值为．

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15. 过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右焦点 $F$ 向 $C$ 的两渐近线作垂线，垂足分别为 $A$ 、 $B$ ，则四边形 $A O B F$ （ $O$ 为坐标原点）的面积等于．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过原点的直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点， $| A B | = 4$ ， $| B F | = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B F = 30 °$ ，则椭圆的离心率为．

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四、解答题

17. 如图所示，在正方体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E_{1}$ ， $F_{1}$ 分别在 $A_{1} B_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 上，且 $A_{1} E_{1} = 2 E_{1} B_{1}$ ， $C_{1} F_{1} = 2 F_{1} D_{1}$ ，求 $B E_{1}$ 与 $D F_{1}$ 所成角的余弦值．

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18. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示：

(1)、估计该校男生的人数；

(2)、估计该校学生身高在170～185cm的概率；

(3)、从样本中身高在180～190cm的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm的概率．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ， $g (x) = \ln (x + 1) + a$ ， $a \in R$ ．

(1)、若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, 2]$ ，恒有 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对任意 $x_{2} \in [0, 2]$ ，存在 $x_{1} \in [0, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) ＝ g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．已知该网络购物平台近5年“双十一”购物当天成交额如下表：

年份

2015

2016

2017

2018

2019

成交额（百亿元）

9

12

17

21

27

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求成交额 $y$ （百亿元）与时间变量 $x$ （记2015年为 $x = 1$ ，2016年为 $x = 2$ ，…以此类推）的线性回归方程；

(2)、试预测2021年该平台“双十一”购物当天的成交额（百亿元）．

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21. 已知曲线 $C$ 上的动点到直线 $x = - 3$ 的距离比它到点 $F (1, 0)$ 的距离大2．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 作两条互相垂直的直线，分别交曲线 $C$ 于点 $A$ 、 $B$ 和 $M$ 、 $N$ ，求四边形 $A M B N$ 面积的最小值．

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右焦点为 $F (c, 0)$ ．过 $F$ 的直线交椭圆于点 $A$ 、 $B$ 两点， $A B$ 的中垂线交 $x$ 轴于点 $D$ ．

(1)、若椭圆过点 $M (- 1, \frac{3}{2})$ ，且 $c = 1$ ，求 $\frac{| D F |}{| A B |}$ 的值．

(2)、对于任意给定的满足 $a > b > 0$ 的椭圆， $\frac{| D F |}{| A B |}$ 是否为定值，请说明理由．

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	高一年级	高二年级	高三年级
跑步	a	b	c
登山	x	y	z

年份	2015	2016	2017	2018	2019
成交额（百亿元）	9	12	17	21	27