湖南省长沙市周南教育集团2020-2021学年九年级上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-01-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $- 2$ 的绝对值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2. 若二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义，则 x 的取值范围是（）

A、 $x \neq 3$ B、 $x > 3$ C、 $x ⩽ 3$ D、 $x \geq 3$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 $a^{3} + a = 2 a^{4}$ C、 $a^{8} \div a^{2} = a^{6}$ D、 $(- 5 a^{2} b) (- 3 a) = 15 a^{2} b$

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4. 若反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则这个函数的图象一定经过点（）

A、（ $\frac{1}{2}$ ，﹣2） B、（1，2） C、（﹣1， $\frac{1}{2}$ ） D、（1，﹣2）

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5. 已知等腰三角形的两边长分别为 $2 cm, 4 cm$ ，则该三角形的周长为（）

A、 $8 cm$ B、 $10 cm$ C、 $8 cm$ 或 $10 cm$ D、 $10 cm$ 或 $12 cm$

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6. 如图，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于点E．若∠A=50°，则∠1的度数为（）

A、65° B、60° C、55° D、50°

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7. 一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）

A、 $50 \sqrt{2} m$ B、 $100 \sqrt{2} m$ C、 $150 \sqrt{2} m$ D、 $200 \sqrt{2} m$

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8. 将抛物线 $y = - 2 x^{2} + 1$ 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）

A、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2}$ B、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 2$ D、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 1$

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9. 在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A = 2 ∠ B$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、50° B、60° C、70° D、80°

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10. 一元二次方程x²﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）

A、m＞1 B、m=1 C、m＜1 D、m≤1

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11. 如图是二次函数y=﹣x²+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）

A、－1 ≤ x ≤ 3 B、x ≤－1 C、x ≥ 1 D、x ≤－1或x ≥ 3

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12. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”（）

A、3步 B、5步 C、6步 D、8步

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二、填空题

13. 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币全部正面向上的概率是．

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14. 关于x的反比例函数 $y = \frac{1 - m}{x}$ （ $m$ 为常数），当x>0时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则m的取值范围为．

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15. 如图所示，将一个含 $30^{°}$ 角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是度.

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16. 如图所示，将边长为 $8 cm$ 的正方形 $A B C D$ 沿直线 $l$ 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时（当正方形的四个顶点的位置首次与起始位置相同时，称为正方形滚动一周），正方形的顶点 $A$ 所经过的路线长是 $cm$ ．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{8} - | 1 - \sqrt{2} | - {(\sqrt{3} - 1)}^{0} + 2^{- 1}$

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18. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x^{2} - 4} + \frac{4}{x + 2}) \div \frac{1}{x - 2}$ ，其中 $x = 3$ ．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， A C = 5 cm ， B C = 12 cm$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转60°，得到 $△ B D E$ ，连接 $D C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，回答下列问题：

(1)、 $△ B C D$ 是什么三角形：．

(2)、求 $△ A C F$ 与 $△ B D F$ 的周长之和是多少？

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20. 为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部对 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个厂家的同型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出 $C$ 厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．

(1)、扇形统计图中 $D$ 厂家对应的圆心角为；

(2)、抽查 $C$ 厂家的合格零件为件，并将图1补充完整；

(3)、若要从 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用列表法或画树形图的方法求出 $A 、 B$ 两个厂家同时被选中的概率．

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21. 下图中曲线是反比例函数 $y = \frac{m + 6}{x}$ 的图象的一支．

(1)、这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数 $m$ 的取值范围是什么？

(2)、若一次函数 $y = - \frac{2}{3} x + \frac{4}{3}$ 的图象与反比例函数图象交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B ， △ A O B$ 的面积为2，求 $m$ 的值．

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22. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知 $△ A B C$ ．

(1)、作出 $△ A B C$ 以 $O$ 为旋转中心，顺时针旋转90°的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，（只画出图形）．

(2)、作出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，（只画出图形）

(3)、在（1）的条件下，求出线段 $A C$ 扫过的面积．

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23. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF．

(1)、求证：BF是⊙O的切线；

(2)、已知⊙O的半径为2，求EF的长．

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24. 已知 $y$ 是关于 $x$ 的函数，若其图像经过点 $P (t ， 2 t)$ ，则称点 $P$ 为函数图象上的“偏离点”．例如：直线 $y = x - 3$ 上存在“偏离点” $P (- 3 ， - 6)$ ．

(1)、在双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由．

(2)、若抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + (\frac{2}{3} a + 2) x - \frac{2}{9} a^{2} - a + 1$ 上有“偏离点”，且“偏离点”为 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，求 $w = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - \frac{k a}{3}$ 的最小值（用含 $k$ 的式子表示）；

(3)、若函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + (m - t + 2) x + n + t - 2$ 的图像上存在唯一的一个“偏离点”，且当 $- 2 \leq m \leq 3$ 时， $n$ 的最小值为 $t$ ，求 $t$ 的值．

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25. 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A = ∠ C$ ， $∠ B \neq ∠ D$ ，则称四边形 $A B C D$ 为准平行四边形．

(1)、如（图①）， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 是⊙O上的四个点， $∠ A P C = ∠ C P B = 60 °$ ，延长 $B P$ 到 $Q$ ，使 $A Q = A P$ ．求证：四边形 $A Q B C$ 是准平行四边形；

(2)、如（图②），准平行四边形 $A B C D$ 内接于⊙O， $A B \neq A D$ ， $B C = D C$ ，若⊙O的半径为5， $A B = 6$ ，求 $A C$ 的长；

(3)、如（图③），在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ，若四边形 $A B C D$ 是准平行四边形，且 $∠ B C D \neq ∠ B A D$ ，请直接写出 $B D$ 长的最大值．

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