湖南省长沙市长郡教育集团2020-2021学年九年级上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2021-01-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在实数 $- \sqrt{3}$ ，-3.14，0， $π$ ， $\sqrt[3]{64}$ 中，无理数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 8月上映的战争题材影片《八佰》取材自“八百壮士”奉命坚守上海四行仓库的真实历史，呈现出平凡的中国军民共同奋勇抗战的热血情怀．截止10月17日，累计票房达到了30.81亿，登顶2020年度票房全球冠军．其中，30.81亿用科学记数法表示为（）

A、 $30.81 \times 10^{8}$ B、 $30.81 \times 10^{9}$ C、 $3.081 \times 10^{9}$ D、 $3.081 \times 10^{8}$

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3. 点M（3， $- 2$ ）与Q（a，b）关于y轴对称，则a+b的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、5 D、 $- 5$

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4. 下列说法：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或－1；②若2a²与3a^x^＋1的和是单项式，则x＝1；③若|x|＝|－7|，则x＝－7；④若a，b互为相反数，则a，b的商为－1.其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 2 x + 4 y = 88 \\ 3 x + 2 y = 84 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 2 x + 4 y = 88 \\ 2 x + 3 y = 84 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 4 x + 2 y = 88 \\ 3 x + 2 y = 84 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 4 x + 2 y = 88 \\ 2 x + 3 y = 84 \end{array}$

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6. 抛物线 $y = - {(x - 2)}^{2} + 3$ ，下列说法正确的是（）

A、开口向下，顶点坐标（2，3） B、开口向上，顶点坐标（2， $- 3$ ） C、开口向下，顶点坐标（ $- 2$ ，3） D、开口向上，顶点坐标（2， 3 ）

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7. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知抛物线 $y = x^{2} + 2 x - m - 2$ 与x轴没有交点，则函数 $y = \frac{m}{x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，点E是 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上的一点，且 $\frac{D E}{A E} = \frac{1}{2}$ ，连接 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F，若 $D E = 3 ， D F = 4$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为（）

A、21 B、28 C、34 D、42

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10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在 $y$ 轴的正半轴上，点C在 $x$ 轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P₁ ，则P₁的坐标为（）

A、（3，3） B、（3，2）或（ $- 3$ ， $- 2$ ） C、（3，3）或（ $- 3$ ， $- 3$ ） D、（2，3）或（ $- 2$ ， $- 3$ ）

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11. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为 $α$ ，AC=2，则树高BC为（用含 $α$ 的代数式表示）（）

A、 $2 \sin α$ B、 $2 \tan α$ C、 $2 \cos α$ D、 $\frac{2}{\tan α}$

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12. 如图，直线y＝ $\frac{1}{2}$ x＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心， $\frac{1}{2}$ AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（）

A、 $\frac{5}{4} \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{2} \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 小明用 $s^{2} = \frac{1}{10} [{(x_{1} - 6)}^{2} + {(x_{2} - 6)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(x_{10} - 6)}^{2}]$ 计算一组数据的方差，那么 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{10} =$ ．

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14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=cm．

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15. 如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝ $\frac{4}{x}$ 上，第二象限的点B在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 上，且OA⊥OB， $\frac{O B}{O A} = \frac{3}{4}$ ，BC、AD垂直于x轴于C、D，则k的值为．

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16. 如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝ $\frac{1}{3}$ BE，DF＝ $\sqrt{10}$ ，则BE＝．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt[3]{- 8} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - | - 5 | + \sqrt{2} \sin 45 °$ ．

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18. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 3} - \frac{1}{3 - x}) \div \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$ ，其中 $x$ 满足方程 $x^{2} - x - 6 = 0$ ．

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 6 (\frac{2}{3} x - 2) < x - 3 \\ \frac{1 - x}{2} - 2 ⩽ x \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出来．

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20. 某校组织八年级部分学生开展庆“五·四”演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到下列不完整的统计图表．

等级

频数

频率

A

4

0.08

B

20

a

C

b

0.3

D

11

0.22

请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、参加此次演讲比赛的学生共有人，a= ， b= ．

(2)、请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；

(3)、已知A等级四名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．

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21. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图，A、B两地之间有一座山。汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶。已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°。

(1)、开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

(2)、开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米)(参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73)

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = m x + 1$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ）相交于点A、B，已知点B（a， $- 2$ ），点C在 $x$ 轴正半轴上，点D（2， $- 3$ ），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．

(1)、求k和m的值；

(2)、请直接写出：当 $x$ 取何值时，反比例函数值大于一次函数值？

(3)、设P是 $y$ 轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．

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23. 如图，已知以 $R t Δ A B C$ 的边 $A B$ 为直径作 $Δ A B C$ 的外接圆的 $⊙ O ， ∠ A B C$ 平分线 $B E$ 交 $A C$ 于D，交 $⊙ O$ 于 $E$ ，过E作 $E F / / A C$ 交 $B A$ 的延长线于F.

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $A B = 15 ， E F = 10 ，$ 求 $A E$ 的长.

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24. 定义：若一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 同时经过点P（ $x$ ， $y$ ）则称二次函数 $y = a x^{2} + b x - k$ 为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点P为关联点．例如：一次函数 $y = x + 2$ 与反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ ，都经过（2，4），则 $y = x^{2} + 2 x - 8$ 就是两个函数的“关联函数”．

(1)、判断 $y = 2 x + 1$ 与 $y = \frac{3}{x}$ 是否存在“关联函数”，如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”．如果不存在，请说明理由；

(2)、已知：整数a，b，c满足条件 $c < b < 8 a$ ，并且一次函数 $y = (1 + b) x + 2 a + 2$ 与反比例函数 $y = \frac{2021}{x}$ 存在“关联函数” $y = (a + c) x^{2} + (10 a - c) x - 2021$ ，求a的值．

(3)、若一次函数 $y = x + m$ 和反比例函数 $y = \frac{m^{2} + 13}{x}$ 在自变量 $x$ 的值满足 $m \leq x \leq m + 6$ 的情况下．其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴的两个交点分别为A、B，与 $y$ 轴相交于点C，点A（ $- 2$ ，0）， $B O = 4 A O$ ，连接BC，tan∠OCB=2．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PD⊥BC，垂足为点D．
①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

②以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求出点P的坐标．

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等级	频数	频率
A	4	0.08
B	20	a
C	b	0.3
D	11	0.22