江苏省南京市六校2020-2021学年高一上学期数学11月联合调研试卷

试卷更新日期：2021-01-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， ${(x - 1)}^{2} \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， ${(x - 1)}^{2} < 0$ B、不存在 $x \in R$ ， ${(x - 1)}^{2} < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， ${(x_{0} - 1)}^{2} < 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， ${(x_{0} - 1)}^{2} \geq 0$

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2. 设集合 $A = {- 1, 0}$ ， $B = {- 1, 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $ϕ$ B、 ${- 1}$ C、 ${- 1, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \sqrt{1 - x}, 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2}, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x} (x \neq 0)$ B、 $y = - x (x \in R)$ C、 $y = - x^{2} (x \in R)$ D、 $y = x (x \in R)$

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5. “ $a b = 0$ ”是“ $a = 0$ ”的（）

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + 3 b = 1$ ，则 $2^{a} + 8^{b}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、8

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7. 对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数

a

的31次方是个35位数，那么根据

10^{34} < a^{31} < 10^{35}

，取常用对数得到

\frac{34}{31} < \lg a < \frac{35}{31}

，即可得到

1.09 < \lg a < 1.15

，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是（）

	2	3	5	6	7	9	11	12	13	14
$\lg a$	0.30	0.48	0.70	0.78	0.85	0.95	1.04	1.08	1.11	1.18

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 关于x的不等式 $x^{2} + x^{- 2} + a (x + x^{- 1}) + a + 1 > 0$ 对任意的 $x > 0$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $a > - 2$ B、 $a > - 1$ C、 $a > 0$ D、 $a > 1$

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二、多选题

9. 下列命题正确的有（）

A、 $\exists x < 0$ ， $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ B、 $m = 0$ 是函数 $f (x) = x^{2} + m x + 1$ 为偶函数的充要条件 C、 $\forall x \in R$ ， $\sqrt{x^{2}} = x$ D、 $x > 1$ 是 $(x - 1) (x + 2) > 0$ 的必要条件

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10. 若 $b < a < 0$ ，则下列不等式中恒成立的有（）

A、 $| b | > | a |$ B、 $a + b < a b$ C、 $b c^{2} < a c^{2}$ D、 $\frac{a^{2}}{b} < 2 a - b$

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11. 下列不等式恒成立的有（）

A、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ B、 $a (1 - a) \leq \frac{1}{4}$ C、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

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12. 已知 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 奇函数 B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 1, 1]$ C、 $f (x)$ 的递增区间是 $[- 1, 1]$ D、 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$

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三、填空题

13. 计算 $\log_{8} 9 \times \log_{3} 16$ 的值是．

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - b x + | x |$ ， $a, b \in R$ ，且 $f (- 2) = - 1$ ，则 $f (2)$ 的值是．

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15. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上是减函数，若 $f (m + 1) + f (3 m - 2) < 0$ ，则实数m的取值范围是．

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16. 设集合 ${x ∣ x = \frac{2}{a} + b, 1 \leq a \leq b \leq 2}$ 中的最大、最小元素分别为M、m，则 $M + m$ 的值是，当x取最小元素m时， $a + b$ 的值是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 9}$ ， $B = {x | m - 2 < x < m + 2}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，设全集 $U = R$ ，求 $A \cap ∁_{U} B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数m取值范围．

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18. 设正实数x，y满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ．

(1)、求xy的最小值，并指出最小值时相应的x，y的值；

(2)、求 $2 x + y$ 的最小值，并指出取得最小值时相应的x，y的值．

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19. 某种商品的市场需求量 $y_{1}$ （万件）、市场供应量 $y_{2}$ （万件）与市场价格x（元/件）分别近似地满足下列关系： $y_{1} = - x + 80$ ， $y_{2} = 2 x - 10$ ，其中 $5 \leq x \leq 80$ ，当 $y_{1} = y_{2}$ 时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．

(1)、求平衡价格和平衡需求量．

(2)、若该商品的市场销售量P（万件）是市场需求量 $y_{1}$ 和市场供应量 $y_{2}$ 两者中的较小者，该商品的市场销售额W（万元）等于市场销售量P与市场价格x的乘积．当市场价格x取何值时，市场销售额W取得最大值，并求出最大值．

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20. 已知关于x的不等式 $a^{2} x^{2} - a x - 2 < 0$ 的解集是M．

(1)、若 $2 \in M$ ，求a的取值范围．

(2)、若函数 $f (x) = a^{2} x^{2} - a x - 2$ 的零点是 $- 1$ 和 $\frac{1}{2}$ ，求不等式 $a x^{2} + (1 - a) x + 2 < 0$ 的解集．

(3)、直接写出关于x的不等式 $a^{2} x^{2} - a x - 2 < 0$ 的解集．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ，且 $f (x)$ 单调递增区间是 $[b, + \infty)$ ．

(1)、若 $f (x) \geq \frac{1}{4}$ 对任意实数 $x \in R$ 都成立，求a，b的值．

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1]$ 上有最小值-1，求实数b的值．

(3)、若 $b \geq 2$ ，对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1, 2 b]$ ，总有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 2 b + 3$ ，求实数b的取值范围

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22. 已知函数 $g (x) = k^{2} x + k$ ， $h (x) = x^{2} - 2 (k^{2} - k + 1) x + 4$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，求函数 $y = \frac{h (x)}{g (x)}$ ， $x \in (- \infty, - 1)$ 的最大值；

(2)、令 $f (x) = {\begin{array}{l} g (x), x > 0 \\ h (x), x < 0 \end{array}$ ，求证：对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在惟一的实数 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立的充要条件是 $k = 4$ ．

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