江苏省南京市2020-2021学年高一上学期数学第二次学情检测试卷

试卷更新日期：2021-01-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 将120°转化为弧度为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 半径为1cm，圆心角为 $120 °$ 的扇形的弧长为（）

A、 $\frac{1}{3} cm$ B、 $\frac{2}{3} cm$ C、 $\frac{π}{3} cm$ D、 $\frac{2 π}{3} cm$

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3. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 2)$ ，若图象过点 $(6 ， 3)$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（）.

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3 a - 6, a + 1)$ ，且 $\sin α > 0, \cos α \leq 0,$ 则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[1, 2]$ C、 $(- 1, 2]$ D、 $(1, 2)$

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6. 已知函数 $f (x) = 3^{x}$ ， $f (a) f (b) = 9$ ，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、1 D、4

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7. 已知函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $(- 2, 0)$ ，则 $f (x)$ 的定义域是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 4, 0)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(- \frac{1}{2}, 1)$

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8. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - x + 1, x \geq 1 \end{array}$ 是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{7}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{7}] \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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9. 函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 3}$ 是幂函数，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty),$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $a, b \in R$ ，且 $f (a) + f (b)$ 的值为负值，则下列结论可能成立的是（）

A、 $a + b > 0, a b < 0$ B、 $a + b > 0, a b > 0$ C、 $a + b < 0, a b < 0$ D、以上都可能

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二、多选题

10. 设 $a, b, c \in R$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ，则 $a > b$

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11. 下列说法正确的有（）

A、不等式 $\frac{2 x - 1}{3 x + 1} > 1$ 的解集是 $(- 2 ， - \frac{1}{3})$ B、“ $a > 1 ， b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”成立的充分条件 C、命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x \in R ， x^{2} < 0$ D、“ $a < 5$ ”是“ $a < 3$ ”的必要条件

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12. 下列结论中正确的是（）

A、终边经过点 $(a ， a) (a \neq 0)$ 的角的集合是 ${α | α = \frac{π}{4} + k π ， k \in Z}$ B、将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 $\frac{π}{3}$ C、若 $α$ 是第三象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第二象限角， $2 α$ 为第一或第二象限角 D、 $M = {x | x = 45^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} ， k \in Z}$ ， $N = {y | y = 90^{\circ} + k \cdot 45^{\circ} ， k \in Z}$ ，则 $M$ Ü $N$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 e^{x - 1}, x < 2 \\ \log_{3} (x^{2} - 1), x \geq 2 \end{matrix}$ 则 $f (f (2))$ 的值为.

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14. 若 $a = \log_{3} 2$ ， $b = 2^{0.3}$ ， $c = \log_{\frac{1}{5}} 2$ .，则a，b，c的大小关系用“ $<$ ”表示为.

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15. 设 $x, y \in R^{+}$ 且 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 2$ ，则 $x + y$ 的最小值为．

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16. 奇函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的减函数，若 $f (2 a + 1) + f (4 a - 3) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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四、解答题

17. 求值：

(1)、 $\sqrt[5]{243} + 8^{\frac{2}{3}} + {(e + 2)}^{0} +(\frac{4}{81})^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $\log_{3} 54 - \log_{3} 2 {+log}_{2} 3 \cdot {log}_{3} 4$ .

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18. 已知集合 $P = {x | 1 \leq x \leq 4}$ ， $S = {x | 1 - m \leq x \leq 1 + m}$ ，则 $x \in P$ 是 $x \in S$ 的充分不必要条件，求出m的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上的最大值为2，求 $a$ 的值；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，求使得 $f (\log_{2} x - 1) > 1$ 成立的 $x$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + a - 2}{2^{x} + 1}$

(1)、当 $a$ 为何值时， $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求证： $f (x)$ 为 $R$ 上的增函数.

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21. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ．

(1)、求 $x + y$ 的最小值；

(2)、若 $x y > m^{2} + 6 m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产 $x$ （千部）手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x + 1000 ， 0 < x < 40 \\ 701 x + \frac{10000}{x} - 8450 ， x \geq 40 \end{array}$ ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求2021年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；

(2)、2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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