湖南省湖湘教育三新探索协作体2020-2021学年高一上学期数学11月联考试卷

试卷更新日期：2021-01-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{0} B、{1} C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 命题“ $\forall x \in N$ ， $x^{2} + x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin N$ ， $x^{2} + x < 0$ B、 $\forall x \in N$ ， $x^{2} + x \leq 0$ C、 $\exists x \in N$ ， $x^{2} + x < 0$ D、 $\exists x \in N$ ， $x^{2} + x \leq 0$

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3. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3, x \geq 0 \\ 1, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 若 $a > b$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $2^{a - b} < 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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5. 已知 $p : | x | > 1$ ， $q : x > 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $y = 1 + x | x |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $x > 0$ 时 $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 3) \cup (0 ， 3)$ D、 $(- 3 ， 0) \cup (3 ， + \infty)$

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8. 已知 $m$ ， $n \in R$ ，且有 $2^{m} + 2^{n} = 2^{m + n}$ ，则 $m + n + 1 + 2^{m + n}$ 的最小值是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、多选题

9. 下列命题中是假命题的有（）

A、函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 B、若 $x^{2} \leq 1$ ，则 $x \leq 1$ C、不等式 $a x^{2} + a x - 1 < 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的范围是 $(- 4, 0)$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$

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10. 已知集合 $A = {x | y = x^{2} + 1}$ ， $B = {y | y = x^{2} + 1}$ ，下列关系正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A \neq B$ C、 $A \cap B = A$ D、 $A \cap B = B$

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11. 关于函数 $f (x) = | 2^{x} - 1 | - m (m \in R)$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $0 < m \leq 1$ ，则 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点 B、若 $m > 1$ ，则 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点 C、若 $m < 0$ ，则 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴无交点 D、若 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点，则 $m > 1$

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12. 定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 为单调递减函数 D、 $f (x)$ 为单调递增函数

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三、填空题

13. ${(\frac{4}{9})}^{- \frac{1}{2}} + {(\sqrt{3} - 1)}^{0} =$ .

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14. 已知幂函数 $y = m \cdot x^{α} (m \in R)$ 的图象过点 $(2 \sqrt{2}, 2)$ ，则 $m + α =$ .

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15. 股票是股份公司发给股东证明其所入股份的一种有价证券，它可以作为买卖对象和抵押品，是资金市场主要的长期信用工具之一.股票在公开市场交易时可涨可跌，在我国上海证券交易所交易的主板股票每个交易日上涨和下跌都不超过10%，当日上涨10%称为涨停，当日下跌10%称为跌停.某日贵州茅台每股的价格是1500元，若贵州茅台在1500元的价格上先涨停2天再跌停2天，则4天后每股的价格是元.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + k x - 2$ ，若对于任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3} \in [2, \frac{5}{2}]$ ，以 $f (x_{1})$ 、 $f (x_{2})$ 、 $f (x_{3})$ 为长度的线段都可以围成三角形，则实数 $k$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | \frac{x - 5}{x + 1} \leq 0}$ ， $B = {x | a \leq x \leq 4 a, a > 0}$ .

(1)、求 $∁_{U} A$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + 4$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 2]$ 单调，求实数 $a$ 取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，函数 $g (x) = f (x + 1)$ ， $x \in [- 4 ， 6]$ ，求函数 $g (x)$ 的值域.

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19. 已知 $a$ ， $b \in R$ .

(1)、求证： $a^{2} + b^{2} \geq 2 (a + b - 1)$ ；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 3$ ，求证： $\frac{1}{a} + \frac{4}{b + 1} \geq \frac{9}{4}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{m x^{2} - x + 1}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，判断 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ 的单调性并证明；

(2)、若 $f (x)$ 的值域是 $[\sqrt{2}, + \infty)$ ，求 $m$ 的取值范围.

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21. 2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产 $x$ 万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为 $y = \frac{1}{5} x^{2} + 48 x$ ，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

(1)、求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；

(2)、当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

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22. 已知函数 $y = f (x)$ 对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ 有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 恒成立，函数 $y = f (x - 2020)$ 的图象关于点 $(2020, 0)$ 成中心对称图形.

(1)、解不等式 $f (\frac{x^{2} - 11}{x - 2} + 2) < 0$ ；

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 是 $y = x^{3}$ ， $y = x + \frac{1}{x}$ ， $y = - 4 x$ 中的某一个，令 $g (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}}$ ，求函数 $F (x) = g (f (x))$ 在 $(- \infty, 2]$ 上的最小值.

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