湖北省黄石市2020-2021学年高一上学期数学10月调研考试试卷

试卷更新日期：2021-01-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | - 1 < x < 1}$ ， $Q = {x | 0 < x < 2}$ ，则 $P \cup Q$ 等于（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(1, 2)$

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2. 设 $A$ 是奇数集， $B$ 是偶数集，则命题“ $\forall x \in A$ ， $2 x \notin B$ ”的否定是（ )

A、 $\exists x \in A$ ， $2 x \in B$ B、 $\exists x \notin A$ ， $2 x \in B$ C、 $\forall x \notin A$ ， $2 x \notin B$ D、 $\forall x \notin A$ ， $2 x \in B$

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3. 下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a b > 0$ ， $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

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4. 函数 $y = \frac{\sqrt{- x^{2} - 3 x + 4}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 4, 1]$ B、 $[- 4, 0)$ C、 $(0, 1]$ D、 $[- 4, 0) \cup (0, 1]$

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5. 下列表示图形中的阴影部分的是（）

A、 $(A \cup C) \cap (B \cup C)$ B、 $(A \cup B) \cap (A \cup C)$ C、 $(A \cup B) \cap (B \cup C)$ D、 $(A \cup B) \cap C$

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6. 已知 $m < - 2,$ 点 $(m - 1, y_{1}), (m, y_{2}), (m + 1, y_{3})$ 都在二次函数 $y = x^{2} - 2 x$ 的图象上，则（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} - 2 x, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) - f (- a) \leq 2 f (1)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 2, 2]$

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8. 已知 $x + 1 > y > 0$ ，则 $x + \frac{4}{x + y + 1} + \frac{1}{x - y + 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2} - 1$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $3 \sqrt{2} - 1$

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二、多选题

9. 下列关系中，正确的有（）

A、 $\emptyset \subseteq {0}$ B、 $\frac{1}{3} \in Q$ C、 $Q \subseteq Z$ D、 $\emptyset \notin {0}$

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10. 已知 $p$ ， $q$ 都是 $r$ 的充分条件， $s$ 是 $r$ 的必要条件， $q$ 是 $s$ 的必要条件，则（）

A、 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件 B、 $p$ 是 $s$ 的充分条件 C、 $r$ 是 $q$ 的必要不充分条件 D、 $s$ 是 $q$ 的充要条件

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11. 设正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值4 B、 $\sqrt{a b}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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12. $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则关于函数 $f (x) = x - [x]$ 说法正确的是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、值域为 $[0, 1)$ D、在 $[2020, 2021)$ 上为增函数

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三、填空题

13. 用列举法表示集合 ${x | x + y = 4, x \in N, y \in N^{*}} =$

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14. $\exists x \in R$ ，使得 $- x^{2} + 2 x + m > 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上为奇函数，且 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x^{2} + 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ .

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16. 函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上单调递增，且函数 $y = f (x + 2)$ 是偶函数，则 $f (1)$ ， $f (\frac{5}{2})$ ， $f (\frac{7}{2})$ 从小到大的顺序是.

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四、解答题

17. 在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充分必要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的 $a$ 存在，求 $a$ 的取值集合 $M$ ，若问题中的 $a$ 不存在，说明理由.
问题：已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x \leq 0}$ ，集合 $B = {x | 1 - a \leq x \leq 1 + a} (a > 0)$ ，是否存在实数 $a$ ，使得 $x \in A$ 是 $x \in B$ 成立的 ▲ ？

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18. 设函数 $f (x) = a x^{2} - 2 (a + 1) x + b (a, b \in R)$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, 2)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $b = 4$ ， $a > 0$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集.

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19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产 $x$ （千部）手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{matrix} 10 x^{2} + 100 x, 0 < x < 40 \\ 701 x + \frac{10000}{x} - 9450, x \geq 40 \end{matrix}$ ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（ $I$ ）求出2020年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；

$(I I)$ 2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + 4$ .
（Ⅰ）若 $f (x)$ 为偶函数，求 $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上的值域；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 2]$ 上是减函数，求 $f (x)$ 在 $[1, a]$ 上的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x} (x \neq 0 ， a \in R)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和值域；

(2)、设 $F (x) = m \sqrt{1 - x^{2}} + f (x)$ ，求函数 $F (x)$ 的最大值的表达式 $g (m)$ .

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