山东省新高考2020-2021学年高三上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = e^{x}, x \in R}$ ，集合 $B = {x | y = \ln (3 - x)}$ ， $A \cap B$ =（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, 3]$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $(- \infty, 3]$

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2. 若复数 $z = \frac{- 1 + i}{2 - i}$ （i为虚数单位），则复数z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）

A、 $[- \frac{3 π}{8} + 2 k π ， \frac{π}{8} + 2 k π] (k \in Z)$ B、 $[- \frac{3 π}{8} + k π ， \frac{π}{8} + k π] (k \in Z)$ C、 $[\frac{π}{8} + 2 k π ， \frac{5 π}{8} + 2 k π] (k \in Z)$ D、 $[\frac{π}{8} + k π ， \frac{5 π}{8} + k π] (k \in Z)$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 函数 $f (x) = x^{4} - \ln (x^{2})$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且满足 $a + 2 b = a b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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7. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，...生数皆终，万物复苏，天以更远作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年龄最小者的年龄为（）

A、65 B、66 C、67 D、68

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8. 已知函数 $f (x) = (x - k) (e^{x} - 1)$ （ $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数），若当 $x > 0$ 时， $f (x) + x + 1 > 0$ 恒成立，则整数k的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“ $a > b > 0$ ”是“ $\lg a > \lg b$ ”的充要条件 B、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 C、已知 $a, b, c \in R$ ，若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、命题“ $\forall x \in R, 2^{x} > 0$ ”的否定为“ $\exists x_{0} \in R, 2^{x_{0}} \leq 0$ ”

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10. 已知 $m, n$ 是互不重合的直线， $α, β$ 是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $m / / n, n \subset α$ ，则 $m / / α$ B、若 $m / / α, m / / β, α \cap β = n$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α, m ⊥ n, α / / β$ ，则 $n / / β$ D、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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11. 关于函数 $f (x) = \sin | x | - | \cos x |$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是周期函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的最大值为1

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - | 2 x - 3 | ， 1 \leq x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (\frac{x}{2}) ， x > 2 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $y = f (x) - k x$ 有4个零点，则实数k的取值范围为 $(\frac{1}{24} ， \frac{1}{6})$ B、关于x的方程 $f (x) - \frac{1}{2^{n}} = 0 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 4$ 个不同的解 C、对于实数 $x \in [1 ， + \infty)$ ，不等式 $2 x f (x) - 3 \leq 0$ 恒成立 D、当 $x \in [2^{n - 1} ， 2^{n}] (n \in N *)$ 时，函数 $f (x)$ 的图象与x轴围成的图形的面积为1

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三、填空题

13. 若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{\sin α - \cos α} =$ .

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14. 如图，在矩形ABCD中， $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ，F为DE的中点，若 $\overset{⇀}{A F} = m \cdot \overset{⇀}{A B} + n \cdot \overset{⇀}{A D}$ ，则 $m + n$ =.

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 (n + 2)}{3 n - 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}}$ =

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16. 如图，在四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC=2，AB=CD= $2 \sqrt{3}$ ，且异面直线AB与CD所成的角为 $60^{\circ}$ ，则四面体ABCD的外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 在① $1 + \cos 2 A = 2 \sin^{2} \frac{A}{2}$ ；② $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ ；③ $4 S = \sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形式等边三角形，给出证明；若问题中的三角形不是等边三角形，说明理由
问题：是否存在等边 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足： $2 a = b + c$ ，_________.

注：如果选择多个分别解答，按第一解答给分

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为正数， $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = 2$ ，且 $b_{2} + S_{3} = 2 a_{5}$ ， $b_{2} S_{3} = 24$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、令 $c_{n} = b_{n} \sin \frac{a_{n} π}{2}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前100项的和 $T_{100}$

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $D E ⊥ S C$ ， $E$ 为垂足， $M$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、当点 $F$ 在线段 $B C$ 上移动时，判断 $△ D E F$ 是否为直角三角形，并说明理由

(2)、若 $S D = 4$ ，求二面角 $D - E M - C$ 的正弦值

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2, S_{n} = a_{n + 1} - 2 (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{2}$ ，且 $b_{1} + \frac{1}{2} b_{2} + \frac{1}{3} b_{3} + \dots + \frac{1}{n} b_{n} = b_{n + 1} - 2 (n \in N^{*})$

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、若设 $c_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{\log_{2} a_{n}}{b_{n}^{2} - 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (π - x) \sin (\frac{π}{2} + x) + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间

(2)、若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且 $f (A) = \frac{1}{2} ， b = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积S的取值范围

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a \ln x - x$ （ $a \in R$ ）

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $f (x)$ 的两个零点为 $x_{1} ， x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ ，判断 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 是否其导函数 $f^{'} (x)$ 的零点？并说明理由

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