湖南名校教育联盟五市十校教研教改共同体2020-2021学年高三上学期数学11月大联考试卷

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \ln (x - 2) \geq 0}$ ， $B = {x | 2 x^{2} - 9 x - 5 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2, 5)$ B、 $[2, 5)$ C、 $[3, 5)$ D、 $(3, 5)$

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2. 在公比为 $q$ 的正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} a_{3} = 9$ ， $a_{3} + 2 q = 10$ ，则 $q =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 函数 $f (x) = 1 + \frac{1}{x}$ 的图象在点 $(\frac{1}{2} ， f (\frac{1}{2}))$ 处的切线斜率为（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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4. 设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x \geq 1$ 且 $y \geq 1$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 的中心，点 $Q$ 在线段 $A A_{1}$ 上，且 $A Q = \frac{1}{3} A A_{1}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，则异面直线 $P Q$ ， $D E$ 所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{a x^{2} + 1} + 2 x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则实数 $a$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器.秦始皇统一中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡.经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（）

A、5.4立方寸 B、8立方寸 C、16立方寸 D、16.2立方寸

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8. 已知 $△ A B C$ 所在的平面内一点 $P$ （点 $P$ 与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 不重合），且 $\vec{A P} = 5 \vec{P O} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ ，则 $△ A C P$ 与 $△ B C P$ 的面积之比为（）

A、2：1 B、3：1 C、3：2 D、4：3

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，且直线 $x = \frac{π}{12}$ 是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (\frac{3 π}{8}) = - \frac{1}{2}$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 D、点 $(- \frac{7 π}{24} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心

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10. 下列函数有两个零点的是（）

A、 $f (x) = e^{x} - x - 1$ B、 $f (x) = | x + 1 | - \frac{1}{2} x - 1$ C、 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ D、 $f (x) = \ln x - x + 2$

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11. 斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形 $A B C D$ $(\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ 中作正方形 $A B F E$ ，以 $F$ 为圆心， $A B$ 长为半径作弧 $\overset{⌢}{B E}$ ；然后在黄金矩形 $C D E F$ 中作正方形 $D E H G$ ，以 $H$ 为圆心， $D E$ 长为半径作弧 $\overset{⌢}{E G}$ ； $\dots$ $\dots$ ；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧 $\overset{⌢}{B E}$ ， $\overset{⌢}{E G}$ ， $\overset{⌢}{G I}$ 的长度分别为 $l$ ， $m$ ， $n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $l = m + n$ B、 $m^{2} = l \cdot n$ C、 $2 m = l + n$ D、 $\frac{1}{m} = \frac{1}{l} + \frac{1}{n}$

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12. 设 $a = \log_{0.3} 0.5$ ， $b = \log_{4} 0.5$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $2 (a b + 1) < a$ D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} > 6$

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三、填空题

13. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a b = 1$ ，则 $4 a + 9 b$ 的最小值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 2$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ ， $F$ 都在线段 $A B$ 上，且 $A E = E F = F B$ ，则 $\vec{D E} \cdot \vec{C F} =$ .

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15. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $3$ ，点 $H$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $H A_{1} = 1$ ， $P$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内一动点， $H P = \sqrt{13}$ ，则 $C P$ 的最小值为.

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16. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $B D = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A C = \sqrt{2} A B$ ，则 $C D$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在① $a_{n + 2} - a_{n} = 4$ ， $S_{2} = 6$ ，② $a_{3} + a_{5} = 16$ ， $S_{3} + S_{5} = 42$ ，③ $2 S_{n} = a_{n} + 2 n^{2}$ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
问题：设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a \sin B = b (\cos A + 1)$ .

(1)、证明： $△ A B C$ 是直角三角形.

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 6$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从 $5$ 道 $A$ 类题和 $3$ 道 $B$ 类题共 $8$ 道题中任选 $3$ 道作答.

(1)、求考生甲至少抽到 $2$ 道 $B$ 类题的概率；

(2)、若答对 $A$ 类题每道计 $1$ 分，答对 $B$ 类题每道计 $2$ 分，若不答或答错，则该题计 $0$ 分.考生乙抽取的是 $1$ 道 $A$ 类题， $2$ 道 $B$ 类题，且他答对每道 $A$ 类题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，答对每道 $B$ 类题的概率是 $\frac{1}{2}$ ，各题答对与否相互独立，用 $X$ 表示考生乙的得分，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A D = C D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $B D ⊥ C D$ ，且 $A E = \sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B D$ .

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的一点，且直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过右焦点 $F_{2}$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ ， $N$ 与 $A_{1}$ 不重合）， $l$ 不与 $x$ 轴垂直，若 $k_{A_{1} M} + k_{A_{1} N} = - k_{M N}$ ，求 $| M N |$ .

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ .

(1)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) > \frac{e}{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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