江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期数学阶段质量检测试卷（一）

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. i为虚数单位， $z = \frac{5 i}{1 + 2 i}$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、2-i B、2+i C、-2-i D、-2+i

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2. 函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x} + 1$ 的零点所在的大致区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, e)$ C、 $(e, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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3. 已知集合 $A = {x | \lg (x - 2) < 1}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A \cup B$ 等于（）．

A、 $(2, 12)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(- 1, 12)$ D、 $(2, 3)$

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4. 指数函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）在 $R$ 上是减函数，则函数 $g (x) = \frac{a - 2}{x^{2}}$ 在其定义域上的单调性为（）

A、单调递增 B、单调递减 C、在 $(0, + \infty)$ 上递增，在 $(- \infty, 0)$ 上递减 D、在 $(0, + \infty)$ 上递减，在 $(- \infty, 0)$ 上递增

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \\ \ln (x + 1) ， x > 0 \end{array}$ ，若 $| f (x) | \geq a x$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[- 2 ， 1]$ D、 $[- 2 ， 0]$

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6. 设函数 $f (x) = x \ln \frac{1 - x}{1 + x}$ ，则函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 对于给定的复数z，若满足 $| z - 4 i | = 2$ 的复数对应的点的轨迹是圆，则 $| z - 1 |$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{17} - 2, \sqrt{17} + 2]$ B、 $[\sqrt{17} - 1, \sqrt{17} + 1]$ C、 $[\sqrt{3} - 2, \sqrt{3} + 2]$ D、 $[\sqrt{3} - 1, \sqrt{3} + 1]$

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8. 平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，则向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、多选题

9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（）

A、 $y = x \cos x$ B、 $y = e^{x} + x^{2}$ C、 $y = \lg \sqrt{x^{2} - 2}$ D、 $y = x \sin x$

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10. (多选题)下列四个条件，能推出 $\frac{1}{a}$ ＜ $\frac{1}{b}$ 成立的有（）

A、b＞0＞a B、0＞a＞b C、a＞0＞b D、a＞b＞0

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11. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，若 $A B = B C$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B_{1}$ 、 $B C_{1}$ 的中点，则下列结论中成立的是（）

A、 $E F$ 与 $B B_{1}$ 垂直 B、 $E F ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、 $E F$ 与 $C_{1} D$ 所成的角为 $45 °$ D、 $E F //$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{- x} (x - 1)$ B、函数 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 2$

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三、填空题

13. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为．

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14. 函数 $y = e^{x} - m x$ 在区间 $(0 ， 3]$ 上有两个零点，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 已知函数f (x)＝x³－ax＋1，g (x)＝3x－2，若函数F(x)＝ ${\begin{array}{l} f (x) ， f (x) \geq g (x) \\ g (x) ， f (x) < g (x) \end{array}$ 有三个零点，则实数a的取值范围是．

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16. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\frac{\tan A}{\tan B} + \frac{\tan A}{\tan C} = 3$ ，则 $\sin A$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- 4 - x)$ ， $f (0) = 3$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，且 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x > 0$ ，求 $g (x) = \frac{x}{f (x)}$ 的最大值.

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} - 7 ， 0 < x \leq 2 \\ | x - 5 | - 1 ， x > 2 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - a$ .

(1)、若函数 $g (x)$ 恰有三个不相同的零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、记 $h (a)$ 为函数 $g (x)$ 的所有零点之和.当 $- 1 < a < 1$ 时，求 $h (a)$ 的取值范围.

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19. 有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪

80

元，送餐员每单制成

4

元；乙公司无底薪，

40

单以内（含

40

单）的部分送餐员每单抽成

6

元，超过

40

单的部分送餐员每单抽成

7

元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其

50

天的送餐单数，得到如下频数分布表：

送餐单数	38	39	40	41	42
甲公司天数	10	10	15	10	5
乙公司天数	10	15	10	10	5

(1)、从记录甲公司的

50

天送餐单数中随机抽取

3

天，求这

3

天的送餐单数都不小于

40

单的概率；

(2)、假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：

①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；

②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $F A = F C$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E F$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = k x - x \ln x$ ， $k \in R$ ．

(1)、当 $k = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) \leq k$ 恒成立，求k的取值范围；

(3)、设n $\in N^{*}$ ，求证： $\frac{\ln 1}{2} + \frac{\ln 2}{3} + \dots + \frac{\ln n}{n + 1} \leq \frac{n (n - 1)}{4}$ ．

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