江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期数学11月联考试卷

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4 i}{1 + i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 0$ 或 $x > 1}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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3. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + a x + 1 > 0$ ，命题 $q$ ：函数 $y = - {(a + 1)}^{x}$ 是减函数，则命题 $p$ 成立是 $q$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…癸未，甲申、乙酉、丙戌、…癸巳，….共得到60个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明10岁生日，那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的（）

A、己亥年 B、戊戌年 C、庚戌年 D、辛丑年

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6. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点都在球 $O$ 上，且 $A B = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则此直三棱柱的外接球 $O$ 的表面积是（）

A、25π B、50π C、100π D、 $\frac{500 π}{3}$

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7. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $l_{1}$ ： $x + (a - 4) y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $2 b x + y - 2 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = (a + 1) x^{2} - x + \sin x + \cos x + a - 2$ ， $x \in R$ ．记函数 $f (x)$ 的值域为 $M$ ，函数 $f (f (x))$ 的值域为 $N$ ，若 $M \subseteq N$ ，则 $a$ 的最大值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 若 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ ，则下列关系式中一定成立的是（）

A、 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ B、 $e^{a} < e^{b}$ （ $e \approx 2.718$ ） C、 ${(\sin θ + \cos θ)}^{a} < {(\sin θ + \cos θ)}^{b}$ （ $θ$ 是第一象限角） D、 $\ln (a^{2} + 1) < \ln (b^{2} + 1)$

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10. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长是2，右焦点与抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ 重合，双曲线 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C_{1}$ 的离心率为 $2 \sqrt{3}$ B、抛物线 $C_{2}$ 的准线方程是 $x = - 2$ C、双曲线 $C_{1}$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $| A F | + | B F | = \frac{20}{3}$

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11. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，则下列选项正确的为（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{2^{2 n + 1} - 2}{3}$ D、数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} < 1$

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12. 函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，已知函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）

A、函数 $| f (x) |$ 的最小正周期为2 B、点 $(- \frac{9}{4} ， 0)$ 为函数 $f (x)$ 的一个对称中心 C、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{3}{2}$ 个单位后得到 $y = A \sin (ω x + φ)$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3}{25} m ， 0]$ 上是增函数

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = - f (x + 1)$ ，当 $x \in (0, 1)$ 时，函数 $f (x) = 3^{x}$ ，则 $f (\log_{\frac{1}{3}} 19) =$ .

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14. 某校进行体育抽测，小明与小华都要在 $50 m$ 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为.

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15. 已知边长是 $4$ 的菱形 $A B C D$ ， $∠ A = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 是菱形 $A B C D$ 内部一点，若 $\vec{P A} + 3 \vec{P B} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $△ P B C$ 与菱形 $A B C D$ 的面积的比值是.

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16. 已知对任意的 $x > 0$ ，不等式 $x e^{x} - \ln x - a x \geq 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，并且 $b \cos A \cos C = a \sin B \sin C + \frac{1}{2} b$ .请在① $b = \sqrt{19}$ ，② $c = 2$ ，③ $2 \sin A = 3 \sin C$ 这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.注意：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.
问题：已知________，计算 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 7$ ， $S_{6} = 48$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 b_{n + 1} = b_{n} + 2$ ， $b_{1} = 3$ .

(1)、证明：数列 ${b_{n} - 2}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 与数列 ${b_{n}}$ 通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} (b_{n} - 2)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B // C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = C D = 1$ ， $B C = P C$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $E A C$

(2)、求二面角 $P - A C - E$ 的大小.

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20. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.

(1)、通过分析可以认为考生初试成绩 $X$ 服从正态分布 $N (μ, δ^{2})$ ，其中 $μ = 64$ ， $δ^{2} = 169$ ，试估计初试成绩不低于90分的人数；

(2)、已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，后两题答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及数学期望.
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < X < μ + δ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 δ < X < μ + 2 δ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 δ < X < μ + 3 δ) = 0.9974$ ．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{6}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上， $P$ 点坐标 $(0, - \frac{1}{3})$ ，直线 $l$ ： $y = - x + m$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| P A | = | P B |$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ P A B$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - x \ln x$ ， $g (x) = \frac{b x}{1 + x^{2}}$ ． $a$ 、 $b \in R$ ，

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知函数 $f (x)$ 的极大值为1，
①若 $b = 2$ ，设 $1 < n < m$ ，证明： $f (m) < g (n)$ ；

②设 $t (x) = f (x) - g (x)$ ，判断函数 $t (x)$ 零点个数，并说明理由.

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