湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期数学第二次大联考试卷

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设复数 $z = \frac{1 - i}{i} + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 已知 $\sin θ > 0$ ， $\cos (θ - π) > 0$ ，则 $θ$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，则“ $d < 0$ ”是“ ${b_{n}}$ 为递减数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C.温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海､北京､莫斯科､莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（）

A、0.784 B、0.84 C、0.904 D、0.936

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5. 已知直线 $l ： x + y - 1 = 0$ ，圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ ，则圆C上到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有（）

A、1 B、2个 C、3 D、4

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6. 原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（）

A、第一种方案更划算 B、第二种方案更划算 C、两种方案一样 D、无法确定

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7. 如图，在半径为2的扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = \frac{3 π}{4}$ ， $P$ 是弧 $A B$ 上的一个三等分点， $M ， N$ 分别是线段 $O A$ ， $O B$ 上的动点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + 2 \cos (\frac{π}{2} x)$ 在区间 $[- 2 ， 4]$ 上的所有零点的和为（）

A、4 B、6 C、 $4 π$ D、 $6 π$

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二、多选题

9. 某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 0.008$ B、该校学生数学竞赛成绩落在 $[60 ， 70)$ 内的考生人数为24 C、该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80 D、估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在 $[70 ， 80)$ 内

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10. 已知实数 $x, y$ 满足 $\log_{3} x - \log_{3} y < {(\frac{1}{3})}^{x} - {(\frac{1}{3})}^{y}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ B、 $x^{3} < y^{3}$ C、 $2^{x - y} < 1$ D、 $\ln (y - x) > 0$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sin x - \cos x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上为增函数 B、直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 是函数 $y = f (x)$ 图像的一条对称轴 C、函数 $y = f (x)$ 的图像可由函数 $y = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位得到 D、函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 对称

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中， $A D = D D_{1} = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B_{1} C ⊥ D_{1} E$ B、 $D_{1} C //$ 平面 $G E F$ C、若点P在平面ABCD内，且 $D_{1} P //$ 平面GEF，则线段 $D_{1} P$ 长度的最小值为 $\sqrt{2}$ D、若点Q在平面ABCD内，且 $D_{1} Q ⊥ B_{1} C$ ，则线段 $D_{1} Q$ 长度的最小值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题

13. 若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为．

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14. ${(2 x^{2} - \frac{3}{x})}^{5}$ 的展开式中 $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数为.

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15. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点，P是双曲线C的右支上一点， $O_{1}$ 是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，且 $S_{△ O_{1} F_{2} P} : S_{△ O_{1} F_{1} P} : S_{△ O_{1} F_{1} F_{2}} = 1 : 2 : 3$ ，则C的离心率为.

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16. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高，已知听到的声强m与标准声调 $m_{0}$ ( $m_{0}$ 约为 $10^{- 12}$ ，单位： $W / m^{2}$ 之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即 $L = \lg \frac{m}{m_{0}}$ ，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊 $m_{0}$ 泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式 $y = 2 x$ ，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为米

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17. 在① $2 a - \sqrt{2} c = 2 b \cos C$ ；② $a^{2} + c^{2} - b^{2} = 4 S$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $△ A B C$ 的面积为S，已知_________.

(1)、求 $\tan B$ 的值；

(2)、若 $S = 10, a = 5$ ，求 $b$ 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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四、解答题

18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{3} = 2 a_{1}^{2}$ ， $a_{4}$ 是 $4 a_{2}$ 与 $2 a_{3}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n + 1} - 1) (a_{n} - 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $A P = A B = 1$ ， $P D$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ ， $F$ 是 $P B$ 的中点， $E$ 线段 $B C$ 上的动点.

(1)、证明： $A F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $P - D E - A$ 的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{14}}{14}$ ，求 $B E$ 的长.

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20. 某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；

	属于“追光族”	属于“观望者”	合计
女员工
男员工
合计			28

(2)、在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有

X

人，女员工有

Y

人，求随机变量

ξ = X - Y

的分布列与数学期望.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{2} ， 0)$ ，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为 $\sqrt{6}$ 的菱形.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设 $M (\frac{2}{3} ， \frac{4}{3})$ ， $O$ 为坐标原点， $A$ 、 $B$ 是椭圆 $E$ 上两点，且 $A B$ 的中点在线段 $O M$ （不含端点 $O$ 、 $M$ ）上，求 $△ A O B$ 面积 $S$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = (\ln x - 1) (a x - 1) (a > 0)$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ .

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、证明：对定义域内任意 $x$ ，都有 $f (x) ⩾ g (x)$ ；

(3)、当 $a = 1$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有两个不等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| x_{2} - x_{1} | < m (1 + \frac{e}{e - 1}) + e - 1$ .

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