湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1}{3 + 4 i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 的实部为3 B、复数 $z$ 的虚部为 $\frac{4}{25} i$ C、复数 $z$ 的共轭复数为 $\frac{3}{25} + \frac{4}{25} i$ D、复数的模为1

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2. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {y | y = \log_{2} | x | - 1 ， x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1}$

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3. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是平面向量，如果 | $\vec{a}$ | = $\sqrt{6}$ ， | $\vec{b}$ | = $\sqrt{3}$ ，（ $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ ）⊥（2 $\vec{a}$ - $\vec{b}$ ）那么 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积等于（）

A、-2 B、-1 C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻.若 $e^{x} = 2.5$ ， $\lg 2 = 0.3010$ ， $\lg e = 0.4343$ ，根据指数与对数的关系，估计 $x$ 的值约为（）

A、0.4961 B、0.6941 C、0.9164 D、1.469

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5. 已知 $a ， b$ 是两条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α \cap β = a$ ， $β \cap γ = b$ ， $a / / b$ ，则 $α / / γ$ B、若 $a / / b$ ， $a ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $b / / β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = a$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $a ⊥ α ， b ⊥ β ， α ⊥ β$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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6. 若 $a \in (π ， \frac{3 π}{2}) ， 2 \cos 2 α = \sin (\frac{π}{4} + a)$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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7. 若函数 $f (x) = 2 a x - a \sin x - \cos x$ 是 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3} ， + \infty)$

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8. 对于函数 $f (x) = 2 | \sin x | \cos x$ ，下列关于说法中正确的是（）

A、图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 B、在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 C、最小正周期为 $π$ D、在 $(0 ， π)$ 上有两个极值点

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = {(\sqrt{a_{n - 1} + 2} + 1)}^{2} - 2$ ，则关于数列 ${a_{n}}$ 的说法正确的是（）

A、 $a_{2} = 7$ B、数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 C、 $a_{n} = n^{2} + 2 n - 1$ D、数列 ${a_{n}}$ 为周期数列

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10. 以下说法，错误的是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ，使 $e^{x_{0}} < x_{0} + 1$ 成立 B、 $\forall θ \in R$ ，函数 $f (x) = \sin (2 x + θ)$ 都不是偶函数 C、 $a ， b \in R ， a > b$ 是 $a | a | > b | b |$ 的充要条件 D、 $△ A B C$ 中，“ $\sin A + \sin B = \cos A + \cos B$ ”是“ $C = \frac{π}{2}$ ”的充要条件

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11. 若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ （其中 $a ， b ， c \in R$ ）的图象关于点 $M (1 ， 0)$ 对称，且 $f (0) = 1$ ，函数 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列说法中正确的有（）

A、函数 $y = f (x + 1)$ 是奇函数 B、 $f (x - 1) + f (1 - x) = 0$ C、 $x = 1$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的对称轴 D、 $f^{'} (1) = 0$

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12. 我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童 $A B C D - E F G H$ 有外接球，且 $A B = 5 ， A D = \sqrt{7} ， E F = 4 ， E H = 2$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $E F G H$ 的距离为1，则下列说法中正确的有（）

A、该刍童外接球的体积为 $36 π$ B、该刍童为棱台 C、该刍童中 $A C 、 E G$ 在一个平面内 D、该刍童中二面角 $B - A D - H$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x \ln x$ ，在点 $P (e ， e)$ 处的切线方程为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 75^{\circ}$ ， $B C = 2$ ，则 $A B =$ .

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个表面是都是直角三角形，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = 2 ， A C = 4$ ，则该三棱锥的体积为.

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16. 若正实数 $x ， y$ 满足 $x y^{2} (x + y) = 9$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b = c (\cos A - \sin A)$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{5}$ ， $D$ 为边 $B C$ 的中点，在下列条件中任选一个，求 $A D$ 的长度.条件①： $△ A B C$ 的面积 $S = 2$ ，且 $B > A$ ；条件②： $\cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ （注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）

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18. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 (n \geq 1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n}}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{n}$ .

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $P A = B D = \sqrt{3} A B = 2 \sqrt{3}$ ，且 $P B = P D$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P A ⊥ A C$ ，棱 $P C$ 上一点 $M$ 满足 $B M ⊥ M D$ ，求直线 $B D$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦.

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20. 已知 $A$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左顶点，斜率为 $k (k > 0)$ 的直线交 $E$ 于 $A 、 M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，且 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 0$ .

(1)、当 $| A M | = | A N |$ 时，求 $△ A M N$ 的面积；

(2)、当 $19 | A M | = 8 | A N |$ 时，求 $k$ 的值.

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21. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患.目前，国际上常用身体质量指数（英文为

B o d y M a s s I n d e x

，简称

B M I

）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是

B M I = \frac{体 重 （ 单 位 ： kg ）}{身 高^{2} （ 单 位 ： m^{2} ）}

中国成人的

B M I

数值标准为：

B M I < 18.5

为偏瘦；

18.5 \leq B M I < 23.9

为正常；

24 \leq B M I < 27.9

为偏胖；

B M I \geq 28

为肥胖.某地区随机调查了6000名35岁以上成人的身体健康状况，其中有1000名高血压患者，得到被调查者的频率分布直方图如图：

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} \geq k)$	0.25	0.10	0.050	0.010	0.001
$k$	1.323	2.706	3.841	6.635	10.828

(1)、求被调查者中肥胖人群的

B M I

平均值

μ

；

(2)、根据频率分布直方图，完成下面的2×2列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关？

	肥胖	不肥胖	总计
高血压
非高血压
总计

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x} - x^{a}$ （ $a \in R$ 且 $a > 1$ ）定义域为 $(0 ， + \infty)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有且只有一个零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = e$ 时，若 $f (x) \geq 1 + λ x^{2} - x^{e}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求整数 $λ$ 的最大值.
（注：其中 $e$ 是自然对数的底数， $e^{0.5} \approx 1.65 ， e \approx 2.72 ， e^{1.5} \approx 4.48 ， e^{1.6} \approx 4.95$ ）

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