江苏省南京师大附中2020-2021学年高二上学期数学12月阶段检测试卷

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比为 $q$ ，且 $a_{1} > 0$ .则“ $q < - 1$ ”是“ $\forall n \in N^{*}, 2 a_{2 n - 1} + a_{2 n} < a_{2 n + 1}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ .定义数列 ${b_{n}}$ 如下： $\frac{m + 1}{m} b_{m} (m \in N^{*})$ 是使不等式 $a_{n} \geq m (m \in N^{*})$ 成立的所有 $n$ 中的最小值，则 $b_{1} + b_{3} + b_{5} + \dots + b_{19} =$ （）

A、25 B、50 C、75 D、100

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3. 电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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4. 小李年初向银行贷款 $M$ 万元用于购房，购房贷款的年利率为 $p$ ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年 $1$ 次，问每年应还（）万元. （）

A、 $\frac{M}{10}$ B、 $\frac{M p {(1 + p)}^{10}}{{(1 + p)}^{10} - 1}$ C、 $\frac{p {(1 + p)}^{10}}{10}$ D、 $\frac{M p {(1 + p)}^{9}}{{(1 + p)}^{9} - 1}$

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，分别过点 $A$ ， $B$ 作准线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，如图所示，则

①以线段 $A B$ 为直径的圆与准线 $l$ 相切；②以 $A_{1} B_{1}$ 为直径的圆经过焦点 $F$ ；③ $A$ ， $O$ ， $B_{1}$ （其中点 $O$ 为坐标原点）三点共线；④若已知点 $A$ 的横坐标为 $x_{0}$ ，且已知点 $T (- x_{0} ， 0)$ ，则直线 $T A$ 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面 $A B D A^{'}$ 是铅垂面，下宽 $A A^{'} = 3 m$ ，上宽 $B D = 4 m$ ，深 $3 m$ ，平面BDEC是水平面，末端宽 $C E = 5 m$ ，无深，长 $6 m$ （直线 $C E$ 到 $B D$ 的距离），则该羡除的体积为（）

A、 $24 m^{3}$ B、 $30 m^{3}$ C、 $36 m^{3}$ D、 $42 m^{3}$

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7. 如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.

A、40320种 B、5040种 C、20160种 D、2520种

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8. 已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (x y \neq 0)$ 上的动点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，若 $M$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线上的一点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{M P} = 0$ ，则 $| \vec{O M} |$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， \sqrt{3})$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(2 ， 2 \sqrt{3})$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 均为递增数列， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}, {b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n},$ 且满足 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n, b_{n} \cdot b_{n + 1} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < a_{1} < 1$ B、 $1 < b_{1} < \sqrt{2}$ C、 $S_{2 n} < T_{2 n}$ D、 $S_{2 n} \geq T_{2 n}$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，其前n项的和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列| ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列 B、数列 ${2^{a_{n}}}$ 为等比数列 C、若 $a_{m} = n, a_{n} = m (m \neq n)$ ，则 $a_{m + n} = 0$ D、若 $S_{m} = n, S_{n} = m (m \neq n)$ ，则 $S_{m + n} = 0$

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11. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是双曲线C： $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 的上､下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（）

A、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ C、点M的横坐标为 $\pm \sqrt{2}$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，D，E，F分别为AC， $A A_{1}$ ，AB的中点．则下列结论正确的是（）

A、 $A C_{1}$ 与EF相交 B、 $B_{1} C_{1} / /$ 平面DEF C、EF与 $A C_{1}$ 所成的角为 $90 °$ D、点 $B_{1}$ 到平面DEF的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒C类药，若每天只能检测1盒药品，且C类药不在第1天或第6天检测，3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测，则不同的检测方案的个数是.

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14. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = 3$ ， $B C = \sqrt{17}$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，若三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则此三棱锥的外接球的表面积为

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15. 无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：只要 $a_{p} = a_{q} (p, q \in N^{*})$ ，必有 $a_{p + 1} = a_{q + 1}$ ，则称 ${a_{n}}$ 为“和谐递进数列”．已知 ${a_{n}}$ 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列， $a_{1} = a_{5} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $S_{2021} =$ ．

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16. 已知曲线 $C : x^{4} + y^{4} + m x^{2} y^{2} = 1$ （ $m$ 为常数）.
（i）给出下列结论：

①曲线 $C$ 为中心对称图形；

②曲线 $C$ 为轴对称图形；

③当 $m = - 1$ 时，若点 $P (x, y)$ 在曲线 $C$ 上，则 $| x | \geq 1$ 或 $| y | \geq 1$ .

其中，所有正确结论的序号是.

（ii）当 $m > - 2$ 时，若曲线 $C$ 所围成的区域的面积小于 $π$ ，则 $m$ 的值可以是.（写出一个即可）

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四、解答题

17. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．

(1)、在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

(2)、在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、432等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．

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18. 已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $x + 2 y - 4 = 0$ ，若 $l_{2}$ 在 $x$ 轴上的截距为 $\frac{3}{2}$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ .

(1)、求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标；

(2)、已知直线 $l_{3}$ 经过 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在 $y$ 轴上的截距是在 $x$ 轴上的截距的2倍，求 $l_{3}$ 的方程．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = {\begin{array}{l} 3, n = 1 \\ a_{1} + 4 a_{n - 1} + 4, n \geq 2 \end{array}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $C_{n} = \log_{2} \frac{b_{n}}{5 \sqrt{2}}$ ，数列 ${\frac{1}{C_{n} \cdot C_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{4}{3} ⩽ T_{n} < 2$ .

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20. 如图，三棱锥 $S - A B C$ 的底面 $A B C$ 和侧面 $S B C$ 都是等边三角形，且平面 $S B C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、若 $P$ 点是线段 $S A$ 的中点，求证： $S A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、点 $Q$ 在线段出上且满足 $A Q = \frac{1}{3} A S$ ，求 $B Q$ 与平面 $S A C$ 所成角的正弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $(n + 1) a_{n + 1} - (n + 2) a_{n} = 1$ $(n \in N^{*})$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .问是否存在正整数 $p, q (3 < p < q)$ ，使得 $T_{3}, T_{p}, T_{q}$ 成等差数列？若存在，求出 $p, q$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设左、右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，点 $M$ 在椭圆上（异于点 $A$ 、 $B$ ），求 $k_{M A} k_{M B}$ 的值；

(3)、过点 $F_{2}$ 作一条直线与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，过 $P, Q$ 作直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 的垂线，垂足为 $S, T$ .试问：直线 $P T$ 与 $Q S$ 是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.

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