湖北省四地六校2020-2021学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知直线 $6 x - 3 y + 2 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $\sin 2 α - 2 \cos^{2} α =$ （）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{12}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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2. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为45°， $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，当 $\vec{b} ⊥ (2 \vec{a} - λ \vec{b})$ 时，实数 $λ$ 为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 若圆 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ 上恰有3个点到直线 $l : x - y + b = 0 (b > 0)$ 的距离为2， $l_{1} : x - y + 3 \sqrt{2} = 0$ ，则 $l$ 与 $l_{1}$ 间的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、2

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ 的最大值是（）

A、9 B、16 C、25 D、27

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5. 已知 $\sin (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (\frac{π}{6} + 2 α) =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\pm \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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6. 已知半径为2的圆经过点 $(4, 3)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知 $O$ 为三角形 $A B C$ 所在平面内一点， $2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\frac{S_{△ O B C}}{S_{△ A B C}} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 如图，要测量电视塔 $A B$ 的高度，在 $C$ 点测得塔顶 $A$ 的仰角是 $\frac{π}{4}$ ，在 $D$ 点测得塔顶 $A$ 的仰角是 $\frac{π}{6}$ ，水平面上的 $∠ B C D = \frac{π}{3} ， C D = 40 m$ ，则电视塔 $A B$ 的高度为（） $m$

A、20 B、30 C、40 D、50

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、平面内到两个定点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆； B、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $A > B$ 则 $a > b$ ； C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 也为等比数列； D、垂直于同一个平面的两条直线平行．

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10. 下列命题中的真命题有（）

A、已知 $a, b$ 是实数，则“ ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ ”是“ $\log_{3} a > \log_{3} b$ ”的充分而不必要条件； B、已知命题 $p : \forall x > 0$ ，总有 $(x + 1) e^{x} > 1$ ，则 $\neg p : \exists x_{0} \leq 0$ ，使得 $(x_{0} + 1) e^{x} \leq 1$ C、设 $α, β$ 是两个不同的平面， $m$ 是直线且 $m \subset α$ ．“ $m / / β$ ”是“ $α / / β$ ”的必要而不充分条件； D、“ $\exists x_{0} \in R, 2^{x} > x_{0}^{2}$ ”的否定为“ $\forall x \in R, 2^{x} \leq x^{2}$ ”

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且满足 $a_{n} + 3 S_{n} S_{n - 1} = 0 (n \geq 2), a_{1} = \frac{1}{3}$ ，下列命题中正确的是（）

A、 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列 B、 $S_{n} = \frac{1}{3 n}$ C、 $a_{n} = - \frac{1}{3 n (n - 1)}$ D、 ${S_{3^{n}}}$ 是等比数列

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12. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的底面边长为1，点 $P$ 到底面 $A B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、该三棱锥的内切球半径为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、该三棱锥外接球半径为 $\frac{7 \sqrt{2}}{12}$ C、该三棱锥体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ D、 $A B$ 与 $P C$ 所成的角为 $\frac{π}{2}$

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三、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 $S_{2019} > 0, S_{2020} < 0$ ，若 $a_{k} a_{k + 1} < 0$ ，则 $k$ 的值为

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14. 已知 $\tan α, \tan β$ 为方程 $x^{2} + 5 \sqrt{3} x + 6 = 0$ 的两根，且 $α, β \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，则 $α + β =$

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15. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为2， $M$ 为 $A B$ 的中点，则异面直线 $B_{1} M$ 与 $A_{1} D$ 所成角的余弦值是

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16. 已知椭圆的中心为坐标原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点 $F$ 的直线交椭圆于 $A 、 B$ 两点，且 $\vec{O A} + \vec{O B}$ 与 $\vec{a} = (4, - 2)$ 共线，则椭圆的离心率 $e =$

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{12} (a^{2} + b^{2} - c^{2}), a c = 3 \sqrt{3}$ 且 $\sin A = \sqrt{3} \sin B$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $c$ 边的长．

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18. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为正方形， $S A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $E$ 为 $S C$ 上的一点，

(1)、求证：面 $E B D ⊥$ 面 $S A C$

(2)、若 $S A = 2 ， A B = 1$ ，求 $S A$ 与平面 $S B D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 4} (n \in N^{*})$ ，

(1)、求证： ${\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{3}}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{n} = a_{n} \cdot \frac{n}{2^{n}} (4^{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20. 有一堆规格相同的铁制（铁的密度为 $7.8 g / {cm}^{3}$ ）六角螺帽共重 $6kg$ ，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是 $12 mm$ ，内孔直径为 $10 mm$ ，高为 $10 mm$ ，

（参考数据： $π = 3.14 ， \sqrt{3} = 1.73 ， 2.952 \times 7.8 \approx 23 ， 1.083 \times 7.8 \approx 8.45$ ）

(1)、求一个六角螺帽的体积；（精确到 $0.001 {cm}^{3}$ ）

(2)、问这堆六角螺帽大约有多少个？

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21. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 3 = 0$ 和圆外一点 $M (0 ， - 8)$ ，

(1)、过点 $M$ 作一条直线与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = 4$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、过点 $M$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $E ， F$ ，求 $E F$ 所在的直线方程．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ．离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $G (0 ， 2)$ 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点直线 $O M ， O N$ 的斜率之积等于 $- \frac{3}{4}$ ，试探求 $△ O M N$ 的面积是否为定值，并说明理由．

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