黑龙江省八校2020-2021学年高三上学期理数摸底考试试卷

试卷更新日期：2021-01-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、{−2，3} B、{−2，2，3} C、{−2，−1，0，3} D、{−2，−1，0，2，3}

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2. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\sin 2 α$ ＝（）

A、 $- \frac{12}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $- \frac{6}{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (x, y)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影为（）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{10}}{5}$

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4. 若 $\sin 2 α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (β - α) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $α \in [\frac{π}{4}, π]$ ， $β \in [π, \frac{3 π}{2}]$ ，则 $α + β$ 的值是（）

A、 $\frac{7 π}{4}$ B、 $\frac{9 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ 或 $\frac{7 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{4}$ 或 $\frac{9 π}{4}$

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5. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：

可以享受折扣优惠金额

折扣率

不超过500元的部分

$5 %$

超过500元的部分

$10 %$

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为 $($ $)$

A、1500元 B、1550元 C、1750元 D、1800元

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6. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + a \ln x$ 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $a < 1$ D、 $0 < a < 1$

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7. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ， $x = {(\frac{1}{a})}^{b}$ ， $y = \log_{a b} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ， $z = \log_{b} \frac{1}{a}$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系是（）

A、 $z > y > x$ B、 $x > y > z$ C、 $x > z > y$ D、 $z > x > y$

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8. 已知命题 $p$ ：“ $\forall x \in [1, e]$ ， $a > \ln x$ ”，命题 $q$ ：“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + a = 0$ ””若“ $p \land q$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 4]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $(4, + \infty)$

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9. 下列命题中错误的是（）

A、“若 $x + y = \frac{π}{2}$ ，则 $\sin x = \cos y$ ”的逆命题是假命题； B、“在 $△ A B C$ 中， $\sin B > \sin C$ 是 $B > C$ 的充要条件”是真命题； C、设平面向量 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为非零向量，则“ $\vec{a} (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ”是“ $\vec{b} = \vec{c}$ ”的充分不必要条件； D、命题“ $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x - \ln x > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x - \ln x \leq 0$ ”；

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10. 已知函数 $y = \sin a x + b (a > 0)$ 的图象如图所示，则函数 $y = \log_{a} (x - b)$ 的图象可能（）

A、 B、 C、 D、

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11. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列，且满足： $a_{1} + a_{2020} = 27$ ， $b_{1} \cdot b_{2020} = 2$ ，函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ 且 $f (x) = e^{x}$ ， $x \in [0, 2]$ ，则 $f (\frac{a_{1010} + a_{1011}}{1 + b_{1010} b_{1011}}) =$ （）

A、e B、 $e^{2}$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{9}$

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12. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}, f' (x) + 4 x > 0$ ，其中 $f' (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $f (\sin x) - \cos 2 x \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π], k \in Z$ B、 $[- \frac{π}{6} + 2 k π, \frac{π}{6} + 2 k π], k \in Z$ C、 $[\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{2 π}{3} + 2 k π], k \in Z$ D、 $[\frac{π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{6} + 2 k π], k \in Z$

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二、填空题

13. 已知扇形的圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，面积为 $\frac{π}{3}$ ，则扇形的弧长等于．

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14. 等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若对任意正整数 $n$ 都有 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n - 1}{3 n - 2}$ ，则 $\frac{a_{11}}{b_{6} + b_{10}} + \frac{a_{5}}{b_{7} + b_{9}}$ 的值为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 成等差数列，且对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 20$ ， $b = 7$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆的半径为.

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{4} x + 1 ， x \leq 1 \\ \ln x ， x > 1 \end{array}$ ，则方程 $f (x) = a x$ 恰有2个不同的实根，实数 $a$ 取值范围.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，已知内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sqrt{3}, - 2 \sin B)$ ，向量 $\vec{n} = (c o s B, c o s 2 B)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，角 $B$ 为锐角.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 {sin}^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} \cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 2$ 在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上有解,求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ， $c_{n} = \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．若对 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} \leq k (n + 4)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，且 $a_{1} + a_{5} ＝ \frac{17}{2} ， a_{2} a_{4} ＝ 4$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} ＝ n a_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 已知 $f (x) = x \ln x, g (x) = x^{3} + a x^{2} - x + 2$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、对任意 $x \in (0, + \infty), 2 f (x) \leq g' (x) + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 12 - x^{2}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于 $- 2$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t ， f (t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S (t)$ ，求 $S (t)$ 的最小值．

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