2021年高考数学尖子生培优专题11 概率统计

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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2. 为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间 $[50 ， 100]$ 上，分组为 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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3. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：

甲	0	1	0	2	2	0	3	1	2	4
乙	2	2	1	1	1	2	1	1	0	1

$\bar{x_{1}}$ ， $\bar{x_{2}}$ 分别表示甲乙两组数据的平均数，S₁ ， S₂分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（）

A、

\bar{x_{1}}

\bar{x_{2}}

，S₁>S₂ B、

\bar{x_{1}}

\bar{x_{2}}

，S₁>S₂ C、

\bar{x_{1}}

\bar{x_{2}}

，S₁>S₂ D、

\bar{x_{1}}

\bar{x_{2}}

，S₁<S₂

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4. 某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20人的得分情况如图所示，若该20人成绩的中位数为a，平均数为b，众数为c，则下列判断错误的是（）

A、a=92 B、b=92 C、c=90 D、b+c<2a

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5. 某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.

河流水位表（1）

第 $x$ 日	第1日	第2日	第3日	第4日	第5日	第6日	第7日
水位 $y$ （米）	3.5	3.7	3.8	3.9	4.3	4.4	4.8

而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.

水位预警分级表（2）

水位	$\geq 4.7$	$\geq 5.1$	$\geq 5.6$
水位分类	设防水位	警戒水位	保证水位
预警颜色	黄色	橙色	红色

现已根据上表得到水位 $y$ 的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.21 x + 3.217$ ，据上表估计（）.

A、第8日将要启动洪水橙色预警 B、第10日将要启动洪水红色预警 C、第11日将要启动洪水红色预警 D、第12日将要启动洪水红色预警

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6. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的 $A$ 、 $B$ 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的 $A$ 、 $B$ 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是（）

A、估计 $A$ 型号口罩的合格率小于 $B$ 型号口罩的合格率 B、Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数 C、Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数 D、Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差

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7. 《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（“____”表示一根阳线，“_ _”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{3}{28}$

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8. 2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）

①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；

乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；

丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是 $10.2$

则下列说法正确的是（）

A、进入夏季的地区至少有2个 B、丙地区肯定进入了夏季 C、不能肯定乙地区进入夏季 D、不能肯定甲地区进入夏季

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10. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分（满分10分）的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是（）

A、甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B、甲得分的众数大于乙得分的众数 C、甲得分的平均数与乙得分的平均数相等 D、甲得分的极差小于乙得分的极差

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11. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 $f (x) = \frac{1}{10 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 100)}^{2}}{200}}, x \in (- \infty, + \infty)$ ，则下列说法正确的是（）

A、该地水稻的平均株高为100cm B、该地水稻株高的方差为10 C、随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D、随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大

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12. 2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）

A、该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B、该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月 C、该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关 D、从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费

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三、填空题

13. 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从6、7、8、9、10这5个正整数中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的概率为.

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14. 某地有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有 $A$ 到过疫区， $B$ 确实是由 $A$ 感染的.对于 $C$ 难以判断是由 $A$ 或是由 $B$ 感染的，于是假定他是由 $A$ 和 $B$ 感染的概率都是 $\frac{1}{2}$ .同样也假定 $D$ 由 $A$ ， $B$ 和 $C$ 感染的概率都是 $\frac{1}{3}$ .在这种假定下， $B$ ， $C$ ， $D$ 中都是由 $A$ 感染的概率是.

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15. 已知样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2019}$ 的平均数和方差分别是1和4，若 $y_{i} = a x_{i} + b (i = 1, 2 \dots 2019)$ 的平均数和方差也是1和4，则ab= .

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16. 在一袋中有 $20$ 个大小相同的球，其中记上 $0$ 的有 $10$ 个，记上 $n$ 号的有 $n$ 个（ $n$ ＝ $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ），现从袋中任取一球， $X$ 表示所取球的标号，则 $p (X = 2) =$ ，若 $Y = 2 X + m$ ，且 $E (Y) = 1$ ，则 $m =$ .

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四、解答题

17. 一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”。根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：

	网红乡土直播员	乡土直播达人	合计
男	10	40	50
女	20	30	50
合计	30	70	100

附： K²= $\frac{n {((a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d

P(K²≥k₀)	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	878'01
K₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	I00'0

(1)、根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？

(2)、在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广"大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为5，求与的分布列和期望。

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18. 某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得 $- 15$ 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1)、设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.

(2)、玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)、玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.

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19. 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第5局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分，现有甲乙两队进行排球比赛：

(1)、若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局. 接下来两队赢得每局比赛的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

(2)、若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局比赛. 在决胜局（第5局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权，若甲发球时甲赢1分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙发球时甲赢1分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 $x (x \leq 4)$ 个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率 $P (x)$ .

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20. 在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成

A

，

B

两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：

$A$ 组	8.3	9.3	9.6	9.4	8.5	9.6	8.8	8.4	9.4	9.7
$B$ 组	8.6	9.1	9.2	8.8	9.2	9.1	9.2	9.3	8.8	8.7

(1)、分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中；

(2)、在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记

X

为这2个人评分之差的绝对值，求

X

的分布列和数学期望.

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21. 网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.

订单：（单位：万件）	$[3, 5)$		$[5, 7)$		$[7, 9)$		$[9, 11)$
频率	0.04		0.06		0.10		0.10
订单：（单位：万件）	$[11, 13)$	$[13, 15)$		$[15, 17)$		$[17, 19)$		$[19, 21)$
频率	0.30	0.20		0.10		0.08		0.02

(1)、由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数

Z

（单位：万件）近似地服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，其中

μ

为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），

σ

为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：

①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间 $(4.88, 15.8]$ 内的城市数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望（取整数）；

②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？

(2)、现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间

(12.16, 19.44]

内的可能性最大，试求整数k的值.

参考数据：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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22. 出版商为了解某科普书一个季度的销售量y（单位：千本）和利润x（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	2.4	3.1	4.6	5.3	6.4	7.1	7.8	8.8	9.5	10
y	18.1	14.1	9.1	7.2	4.9	3.9	3.2	2.3	2.1	1.4

根据上述数据画出如图所示的散点图：

参考公式及参考数据：

①对于一组数据（u₁ ， v₁），（u₂ ， v₂），…，（u_n ， v_n），其回归直线 $v = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的公式分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

②参考数据：

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{u}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})$
6.50	6.63	1.75	82.50	2.70	-143.25	-27.54

表中u_i=Inx_i ， $\bar{u}$ = $\frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} u_{i}$ .另：In4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.

(1)、根据图中所示的散点图判断y=ax+b和y=clnx+d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）；

(2)、根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；

(3)、根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为：（单位：千元），当季销售量y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？（季利润总额=季销售量×每本书的利润）

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2021年高考数学尖子生培优 专题11 概率统计

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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