2021年高考数学尖子生培优专题10 计数原理

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在 ${(x^{2} - \frac{y}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{4} y^{2}$ 的系数为（）

A、20 B、10 C、-10 D、-20

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2. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）

A、15种 B、90种 C、120种 D、180种

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3. 若 ${(3 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）

A、－540 B、－162 C、162 D、540

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4. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（）

A、24 B、14 C、12 D、8

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5. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x})}^{n}$ 的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（）

A、135 B、105 C、30 D、15

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6. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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7. $(x + 1) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中常数项为（）

A、-40 B、40 C、-80 D、80

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8. 从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（　　）

A、85 B、95 C、2040 D、2280

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二、多选题

9. 已知 ${(3 x^{2} + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中各项系数之和为 $A$ ，第二项的二项式系数为 $B$ ，则（）

A、 $A = 256$ B、 $A + B = 260$ C、展开式中存在常数项 D、展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为54

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10. 若 ${(1 - 2 x)}^{2021} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021} x^{2021} (x \in R)$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021} = \frac{3^{2021} + 1}{2}$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{2020} = \frac{3^{2021} - 1}{2}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{2021}}{2^{2021}} = - 1$

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11. 设常数 $a \in R$ ， $n \in N^{*}$ ，对于二项式 ${(1 + a \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式，下列结论中，正确的是（）

A、若 $a < \frac{1}{n}$ ，则各项系数随着项数增加而减小 B、若各项系数随着项数增加而增大，则 $a > n$ C、若 $a = - 2$ ， $n = 10$ ，则第7项的系数最大 D、若 $a = - \sqrt{2}$ ， $n = 7$ ，则所有奇数项系数和为239

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12. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（）

A、某学生从中选3门，共有30种选法 B、课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 C、课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法 D、课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

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三、填空题

13. 若 ${(x - \frac{m}{x})}^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $84$ ，则 $m =$ .

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14. 2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有种．（用数字作答）

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15. 已知 ${(1 + x)}^{6} - {(2 + x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{6} =$ ， $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \dots \dots + | a_{5} | + | a_{6} | =$ .

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16. 某校 $13$ 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共 $9$ 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以 $2$ 人一组或者 $3$ 人一组.如果 $2$ 人一组，则必须角色相同；如果 $3$ 人一组，则 $3$ 人角色相同或者 $3$ 人为级别连续的 $3$ 个不同角色.已知这 $13$ 名学生扮演的角色有 $3$ 名士兵和 $3$ 名司令，其余角色各 $1$ 人，现在新加入 $1$ 名学生，将这 $14$ 名学生分成 $5$ 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为.

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四、解答题

17. 盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.

(1)、从中取出3个黑球、4个白球排成一列且4个白球两两不相邻的排法有多少种？

(2)、从中任取6个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？

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18. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，

(1)、求 $n$ ，

(2)、求展开式中 $x$ 的一次项的系数.

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19. 已知 ${(1 + x)}^{2 n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2 n} x^{2 n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2 n}$ 的值；

(2)、求 $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} - \frac{1}{a_{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2 n - 1}} - \frac{1}{a_{2 n}}$ 的值.

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20. 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.

(1)、当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

(2)、当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

(3)、若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

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21. 已知二项式 ${(x + 3 x^{2})}^{n}$ ．

(1)、若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；

(2)、若 $x = 3, n = 2020$ ，求二项式的值被7除的余数．

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22. 江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).

(1)、共有多少种分配方案？

(2)、6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？

(3)、6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.

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2021年高考数学尖子生培优 专题10 计数原理

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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