2021年高考数学尖子生培优专题09 圆锥曲线

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 直线 $x - y = 0$ 与双曲线 $2 x^{2} - y^{2} = 2$ 有两个交点为 $A$ ， $B$ ，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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2. 已知动点 $M$ 的坐标满足方程 $5 \sqrt{x^{2} + y^{2}} = | 3 x + 4 y - 12 |$ ，则动点 $M$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

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3. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为l，过点F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交抛物线于点 $M$ ( $M$ 在第一象限)， $M N ⊥ l$ ，垂足为 $N$ ，直线 $N F$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，若 $| M D | = 2 \sqrt{3}$ ，则抛物线的方程是（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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4. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0,$ $b > 0$ ）的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{1}{5} = 0$ 相切，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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5. 如图，设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点 $P$ 是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点 $Q$ ，若 $| P F_{1} | = 4 | Q F_{2} |$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、-2 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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6. 已知平行于x轴的一条直线与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>0，b>0)相交于P，Q两点，|PQ|=4a ，∠PQO= $\frac{π}{3}$ (O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 与圆 $E ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 相交于A，B两点，点M为劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上不同A，B的一个动点，平行于 $x$ 轴的直线MN交抛物线于点N，则 $△ M N E$ 的周长的取值范围为（）

A、(3，5) B、(5，7) C、(6，8) D、(6，8]

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8. 已知圆 $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2 \sqrt{2})}^{2} = 1$ 和焦点为F的抛物线 $C_{2} : y^{2} = 8 x$ ，点N是圆 $C_{1}$ 上一点，点M是抛物线 $C_{2}$ 上一点，点M在 $M_{1}$ 时， $| M F | + | M N |$ 取得最小值，点M在 $M_{2}$ 时， $| M F | - | M N |$ 取得最大值，则 $| M_{1} M_{2} | =$ （）.

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，为了使方程 $x^{2} + m y^{2} - 2 = 0$ 表示准线垂直于 $x$ 轴的圆锥曲线，实数 $m$ 的取值范围可以是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线过点 $P (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，点F为双曲线C的右焦点，则下列结论正确的是（）.

A、双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、双曲线C的渐近线方程为 $x - \sqrt{2} y = 0$ C、若点F到双曲线C的渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、设O为坐标原点，若 $| P O | = | P F |$ ，则 $S_{△ P O F} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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11. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，焦距为 $2 c$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上且满足 $| O P | = | O F_{1} | = | O F_{2} | = c$ ，直线 $P F_{2}$ 与椭圆 $C$ 交于另一个点 $Q$ ，若 $\cos ∠ F_{1} Q F_{2} = \frac{4}{5}$ ，点 $M$ 在圆 $G : x^{2} + y^{2} = \frac{8}{9}$ 上，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的焦距为2 B、三角形 $M F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、圆 $G$ 在椭圆 $C$ 的内部 D、过点 $F_{2}$ 的圆 $G$ 的切线斜率为 $\pm \sqrt{2}$

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12. 设F是抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $| A B | \geq 4$ B、 $| O A | + | O B | > 8$ C、若点 $P (2 ， 2)$ ，则 $| P A | + | A F |$ 的最小值是3 D、 $△ O A B$ 的面积的最小值是2

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三、填空题

13. 已知双曲线 $x^{2} + n y^{2} = 1 (n \in R)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为．

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，且离心率 $e = \frac{2}{3}$ ，点 $P$ 是椭圆上位于第二象限内的一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 是腰长为4的等腰三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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15. 在平面直角坐标系内有两点 $A (m, - 1)$ ， $B (2, - 1)$ ， $m < 2$ ，点 $A$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上， $F$ 为抛物线的焦点，若 $2 | A B | + | A F | = 6$ ，则 $m =$

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16. 双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $Γ$ 的左､右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上， $\vec{F_{2} A} = \frac{1}{3} \vec{M B}$ ， $B F_{2}$ 平分 $∠ F_{1} B M$ ，则 $Γ$ 的离心率为.

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四、解答题

17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点， $P$ 是椭圆上一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是6.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 经过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 且与 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，试问：在 $x$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得直线 $Q M$ 与直线 $Q N$ 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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18. 已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ ．抛物线 $C_{1}$ 的焦点到其准线的距离恰好是圆 $C_{2}$ 的半径．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程及其焦点坐标；

(2)、过抛物线 $C_{1}$ 上一点 $Q$ （除原点外）作抛物线 $C_{1}$ 的切线，交 $y$ 轴于点 $P$ ．过点 $Q$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，切点分别为 $M$ 、 $N$ ．若 $M N // P Q$ ，求 $△ P M N$ 的面积．

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19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2} + 1$ ．

(1)、求双曲线E的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 1$ 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求 $\frac{| M N |}{| P Q |}$ 的取值范围．

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(- 1, \frac{3}{2})$ ，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，点 $P (1, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是椭圆 $C$ 上的两点.
（ⅰ）若 $x_{1} = x_{2}$ ，且 $△ P A B$ 为等边三角形，求 $△ P A B$ 的边长；

（ⅱ）若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $△ P A B$ 不可能为等边三角形.

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21. 如图，点 $A$ 为椭圆 $C_{1} ： x^{2} + 2 y^{2} = 1$ 的左顶点，过 $A$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于 $B$ ， $C$ 两点，点 $C$ 是 $A B$ 的中点．

（Ⅰ）若点 $A$ 在抛物线 $C_{2}$ 的准线上，求抛物线 $C_{2}$ 的标准方程：

（Ⅱ）若直线 $l_{2}$ 过点 $C$ ，且倾斜角和直线 $l_{1}$ 的倾斜角互补，交椭圆 $C_{1}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，

（i）证明：点 $C$ 的横坐标是定值，并求出该定值：

（ii）当 $△ B M N$ 的面积最大时，求 $p$ 的值．

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22. 已知倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 过点 $A (1 ， - 2)$ 和点 $B$ ， $B$ 在第一象限， $| A B | = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 相交于 $E$ 、 $F$ 两点，且线段 $E F$ 的中点坐标为 $(4 ， 1)$ ，求 $a$ 的值；

(3)、对于平面上任一点 $P$ ，当点 $Q$ 在线段 $A B$ 上运动时，称 $| P Q |$ 的最小值为 $P$ 与线段 $A B$ 的距离，已知点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，写出点 $P (t ， 0)$ 到线段 $A B$ 的距离 $h$ 关于 $t$ 的函数关系式.

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2021年高考数学尖子生培优 专题09 圆锥曲线

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