2021年高考数学尖子生培优专题08 直线与圆的方程

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知过点 $(1 ， 1)$ 的直线l与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x - y - 3 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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4. 已知⊙M： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l$ ： $2 x + y + 2 = 0$ ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 $P A ， P B$ ，切点为 $A ， B$ ，当 $| P M | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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5. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ ，若直线 $y = k x - 4$ 上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（）

A、 $k \leq - \frac{4}{3}$ 或 $k \geq 0$ B、 $k \leq - \frac{3}{4}$ C、 $k \leq - \frac{3}{4}$ 或 $k \geq 1$ D、 $k \geq 1$

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6. 已知圆E的圆心在y轴上，且与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的公共弦所在直线的方程为 $x - \sqrt{3} y = 0$ ，则圆E的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 2$ B、 $x^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 2$ C、 $x^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 3$ D、 $x^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 3$

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7. 在平面直角坐标系中，已知 $A (1 ， 0)$ ， $B (1 ， \sqrt{3})$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = a \vec{O A} + b \vec{O B}$ ，且 $| a | + | b | = 1$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $8$ C、 $2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{7}$

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8. 已知平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E F ， A B ⊥ A D ， C D ⊥ A D$ ，且 $A B = 3 ， A D = C D = 6 ， A D E F$ 是正方形，在正方形 $A D E F$ 内部有一点 $M$ ，满足 $M B ， M C$ 与平面 $A D E F$ 所成的角相等，则点 $M$ 的轨迹长度为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、16 C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $8 π$

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二、多选题

9. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y - a = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $a x - (2 a - 3) y - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $l_{2}$ 始终过定点 $(\frac{2}{3} ， \frac{1}{3})$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = 1$ 或-3 C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ 或2 D、当 $a > 0$ 时， $l_{1}$ 始终不过第三象限

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10. 直线 $y = k x - 1$ 与圆C： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 36$ 相交于A、B两点，则AB长度可能为（）

A、6 B、8 C、12 D、16

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 4 = 0$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，下列说法正确的为（）

A、两圆有两条公切线 B、直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ C、线段 $A B$ 的长为 $\frac{6}{5}$ D、圆 $O$ 上点 $E$ ，圆 $M$ 上点 $F$ ， $| E F |$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 3$

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 $A$ 、 $B$ 的距离之比为定值 $λ$ （ $λ \neq 1$ ）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (4 ， 0)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{P A}{P B} = \frac{1}{2}$ ，设点 $P$ 所构成的曲线为 $C$ ，下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、在 $C$ 上存在点 $D$ ，使得 $D$ 到点 $(1 ， 1)$ 的距离为3 C、在 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $| M O | = 2 | M A |$ D、在 $C$ 上存在点 $N$ ，使得 ${| N O |}^{2} + {| N A |}^{2} = 4$

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三、填空题

13. 过点 $(1 ， 0)$ 且与直线 $x - \sqrt{2} y + 3 = 0$ 平行的直线l被圆 ${(x - 6)}^{2} + {(y - \sqrt{2})}^{2} = 12$ 所截得的弦长为．

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14. 已知圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ ，线段 $M N$ 在直线 $y = - 2 x + 11$ 上运动，点 $P$ 是线段 $M N$ 上任意一点，若圆 $C$ 上存在两点 $A$ ， $B$ ，使得 $P A ⊥ P B$ ，则线段 $M N$ 长度的最大值是．

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15. 在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（﹣1，0），B （1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1） $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ；（2） $| \vec{M A} | = | \vec{M B} | = | \vec{M C} |$ ；（3） $\vec{G M}$ ∥ $\vec{A B}$ ，则△ABC的顶点C的轨迹方程为．

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16. 已知 $O$ 为坐标原点，圆 $M$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ． $A ， B$ 分别为圆 $M$ 和圆 $N$ 上的动点，则 $S_{△ O A B}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知圆心在原点的圆被直线 $y = x + 1$ 截得的弦长为 $\sqrt{14} .$
(Ⅰ) 求圆的方程；
(Ⅱ) 设动直线 $y = k (x - 1) (k \neq 0)$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，问在 $x$ 轴正半轴上是否存在定点 $N$ ，使得直线 $A N$ 与直线 $B N$ 关于 $x$ 轴对称？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

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18. 已知点 $C (4 ， 0)$ ，点 $A 、 B$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 20$ 上任意两个不同点，且满足 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{B C} = 0$ ，点 $P$ 是弦 $A B$ 的中点.

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $Γ$ 方程；

(2)、已知直线 $l_{1} ： y = \sqrt{3} x ， l_{2} ： y = k x - 1 ，$ ，若 $l_{1} ， l_{2}$ 被 $Γ$ 所截得的线段长之比为 $\sqrt{3} ： 1$ ，求 $k$ 的值

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19. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆 $N ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆心 $N (1 ， 0)$ ，点E在直线 $x = - 1$ 上，点P满足 $\vec{P E} / / \vec{O N}$ ， $\vec{N P} \cdot \vec{N E} = \vec{E P} \cdot \vec{E N}$ ，点P的轨迹为曲线M．

(1)、求曲线M的方程．

(2)、过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若 $| A C |$ 、 $| C D |$ 、 $| D B |$ 成等差数列，求直线l的方程．

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20. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $P A$ 与圆O相切于点A，直线 $P B$ 垂直y轴于点B，且 $| P B | = 2 | P A |$ ．

(1)、求点P的轨迹E的方程；

(2)、直线 $P A$ 与E相交于 $P ， Q$ 两点，若 $△ P O A$ 的面积是 $△ Q O A$ 的面积的两倍，求直线 $P A$ 的方程．

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21. 已知以动点 $P$ 为圆心的 $⊙ P$ 与直线 $l$ ： $x = - \frac{1}{2}$ 相切，与定圆 $⊙ F$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心 $P$ 的轨迹方程 $C$ ；

（Ⅱ）过曲线 $C$ 上位于 $x$ 轴两侧的点 $M$ 、 $N$ （ $M N$ 不与 $x$ 轴垂直）分别作直线 $l$ 的垂线，垂足记为 $M_{1}$ 、 $N_{1}$ ，直线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，记 $Δ A M M_{1}$ 、 $Δ A M N$ 、 $Δ A N N_{1}$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，且 $S_{2}^{2} = 4 S_{1} S_{3}$ ，证明：直线 $M N$ 过定点.

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22. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $x$ 轴负半轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴正半轴相交于点 $B$ .

(1)、若过点 $C (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若在以 $B$ 为圆心半径为 $r$ 的圆上存在点 $P$ ，使得 $P A = \sqrt{2} P O$ ( $O$ 为坐标原点)，求 $r$ 的取值范围；

(3)、设 $M (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 是圆 $O$ 上的两个动点，点 $M$ 关于原点的对称点为 $M_{1}$ ，点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $M_{2}$ ，如果直线 $Q M_{1} 、 Q M_{2}$ 与 $y$ 轴分别交于 $(0 ， m)$ 和 $(0 ， n)$ ，问 $m \cdot n$ 是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.

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2021年高考数学尖子生培优 专题08 直线与圆的方程

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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