2021年高考数学尖子生培优专题07 立体几何

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $A_{1} D$ ， $A C$ 上的点，且满足 $A_{1} D = 3 M D$ ， $A N = 2 N C$ ，则异面直线 $M N$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

查看试题解析
2. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $O$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，则 $O$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
3. 设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A、若m//α，n $\subset$ α，则m//n B、若m//α，m⊥n，则n⊥α C、若m⊥α，m⊥n，则n//α D、若m⊥α，n//α，则m⊥n

查看试题解析
4. 在三棱锥 $A - S B C$ 中， $A B = \sqrt{10}$ ， $∠ A S C = ∠ B S C = \frac{π}{4}$ ， $A C = A S$ ， $B C = B S$ ，若该三棱锥的体积为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\sqrt{5}$ π D、 $\frac{π}{3}$

查看试题解析
5. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 是正三角形， $E$ 是 $B C$ 的中点，则下列叙述正确的是（）

A、 $C C_{1}$ 与 $B_{1} E$ 是异面直线 B、 $C C_{1}$ 与 $A E$ 是共面直线 C、 $A E$ 与 $B_{1} C_{1}$ 是异面直线 D、 $A E$ 与 $B B_{1}$ 是共面直线

查看试题解析
6. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长都为2，且球 $O$ 为三棱锥 $A - B C D$ 的外接球，点 $M$ 是线段 $B D$ 上靠近 $D$ 的四等分点，过点 $M$ 作平面 $α$ 截球 $O$ 得到的截面面积为 $Ω$ ，则 $Ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{2}]$ B、 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{3 π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$

查看试题解析
7. 如图，已知三棱锥 $A - B C D$ ， $A B = A C = A D = \sqrt{3}$ ，底而是边长为1的正三角形， $P$ ， $E$ 分别为线段 $A C$ ， $C D$ （不含端点）上的两个动点，则 $P E$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值不可能是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{66}}{41}$ B、 $\frac{2 \sqrt{66}}{33}$ C、 $\frac{21}{22}$ D、 $\frac{3 \sqrt{11}}{11}$

查看试题解析
8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，以下结论错误的是（）

A、面对角线中与直线 $A_{1} D$ 所成的角为 $60 °$ 的有8条 B、直线 $A_{1} D$ 与 $B C_{1}$ 垂直 C、直线 $A_{1} D$ 与 $B D_{1}$ 平行 D、三棱锥 $A - A_{1} C D$ 的体积为 $\frac{1}{6} a^{3}$

查看试题解析

二、多选题

9. 如图，在下列四个正方体中， $A$ ， $B$ 为正方体的两个顶点， $M$ ， $N$ ， $Q$ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 $A B$ 与平面 $M N Q$ 不平行的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
10. 如图，直接三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ B C$ ，且 $A C = A A_{1} = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点， $D$ ， $M$ 分别是 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的两个动点，则（）

A、 $F M$ 与 $B D$ 一定是异面直线 B、三棱锥 $D - M E F$ 的体积为定值 $\frac{1}{3}$ C、直线 $B_{1} C_{1}$ 与 $B D$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ D、若 $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则四棱锥 $D - B B_{1} F E$ 的外接球表面积为 $5 π$

查看试题解析
11. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为3的正方形，高为4， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $B_{1} C E //$ 平面 $A_{1} B D$ B、在棱 $D D_{1}$ 上存在点 $F$ ，使得 $B_{1} F ⊥ A_{1} B$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积是6 D、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B D$ 的外接球表面积为 $34 π$

查看试题解析
12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1}$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $O$ 为 $A_{1} C$ 的中点.点 $P$ 是 $B C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当点 $P$ 运动到 $B C_{1}$ 中点时，直线 $A_{1} P$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，都有 $A_{1} P ⊥ O B_{1}$ C、当点 $P$ 运动到 $B C_{1}$ 中点时，才有 $A_{1} P$ 与 $O B_{1}$ 相交于一点，记为 $Q$ ，且 $\frac{P Q}{Q A_{1}} = \frac{1}{3}$ D、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，直线 $A_{1} P$ 与 $A B$ 所成角都不可能是30°

查看试题解析

三、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{1 - x^{2}}, x \in [- 1, 0) \\ 1 - x, x \in [0, 1] \end{array}$ ，则将 $y = f (x)$ 的曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得几何体的体积为.

查看试题解析
14. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=1，AC= $\sqrt{2}$ 。三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为；若点M，N分别是△ABC与△PAC的重心，直线MN与球O的表面相交于D，E两点，则线段DE的长度为。

查看试题解析
15. 如图，已知三棱锥 $V - A B C$ ，点P是 $V A$ 的中点，且 $A C = 2 ， V B = 4$ ，过点P作一个截面，使截面平行于 $V B$ 和 $A C$ ，则截面的周长为.

查看试题解析
16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B$ 垂直平面 $A B C$ ， $P A = P B = A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为.

查看试题解析

四、解答题

17. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．

查看试题解析
18. 如图，长方体ABCD -A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2的正方形，AA₁=4，点E，F，M，N分别为棱CC₁ ， BC， BB₁ ， AA₁的中点

(1)、求证：平面B₁D₁E⊥平面C₁MN．

(2)、若平面AFM∩平面A₁B₁C₁D₁=l，求直线l与平面B₁D₁E₁所成角的正弦值．

查看试题解析
19. 如图， $A B C D$ 是边长为3的正方形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ， $D E = 3 A F$ ， $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $F - B E - D$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ⊥ A D ， A B / / C D$ ， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $P A ⊥ C B$ ；

(2)、若三棱锥 $D - A C E$ 的体积为 $1$ ，求二面角 $P - A C - E$ 的正弦值.

查看试题解析
21. 已知如图①，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ 且 $A B = 2$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起使 $A D = \sqrt{2}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $A - B C D E$ .

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $P$ 为 $A C$ 的中点，求二面角 $P - B D - A$ 的余弦值.

查看试题解析
22. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ D C$ ，且 $A B = 1$ ， $A D = D C = D P = 2$ ， $∠ P D C = 120 °$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、线段 $B C$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $P D F ⊥$ 平面 $P A C$ ？如果存在，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值；如果不存在，说明理由；

(3)、若 $M$ 是棱 $P A$ 的中点， $N$ 为线段 $B C$ 上任意一点，求证： $M N$ 与 $P C$ 一定不平行.

查看试题解析

2021年高考数学尖子生培优 专题07 立体几何

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

2021年高考数学尖子生培优专题07 立体几何