2021年高考数学尖子生培优专题06 不等式

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $m > 0 ， n > 0 ， m + 4 n = 2$ ，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、36 B、16 C、8 D、4

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2. 已知函数 $f (x) = - x + 1 + \log_{2} x$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(0 ， 1) \cup (2 ， + \infty)$

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3. 二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ ，若 $c < 0$ ，且函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有两个零点，求 $b + 2 c$ 的取值范围（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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4. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq 3 ， \\ x - 2 y \geq 0 ， \\ x \leq 4 ， \end{array}$ 则 $\frac{y + 2}{x + 1}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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5. 当 $a < 0$ 时，关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0$ 的解集是 $(x_{1}, x_{2})$ ，则 $b = x_{1} + x_{2} + \frac{a}{x_{1} x_{2}}$ 取得最值的充分条件是（）

A、有最大值， $b \leq - 1$ B、有最小值， $b \geq - 4 \sqrt{3}$ C、有最大值， $b \leq - 5$ D、有最小值， $b \leq - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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6. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1 ， x \leq 1 \\ \ln x ， x > 1 \end{array}$ ，则不等式 $f (x) > 1$ 的解集是（）

A、 $(1 ， e)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， e)$ D、 $(e ， + \infty)$

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7. 对于函数 $f (x)$ ，若 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ ，则称 $x_{1}, x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的一对“线性对称点”．若实数 $a$ 与 $b$ 和 $a + b$ 与 $c$ 为函数 $f (x) = 3^{x}$ 的两对“线性对称点”，则 $c$ 的最大值为（）

A、 $\log_{3} 4$ B、 $\log_{3} 4 + 1$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\log_{3} 4 - 1$

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8. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上存在 $x_{1} ， x_{2} (a < x_{1} < x_{2} < b)$ ，满足 $f^{'} (x_{1}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ， $f^{'} (x_{2}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是在区间 $[a ， b]$ 上的一个双中值函数，已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{6}{5} x^{2}$ 是区间 $[0 ， t]$ 上的双中值函数，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{5} ， \frac{6}{5})$ B、 $(\frac{2}{5} ， \frac{6}{5})$ C、 $(\frac{2}{5} ， \frac{3}{5})$ D、 $(1 ， \frac{6}{5})$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的有（）

A、不等式 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 恒成立 B、存在a，使得不等式 $a + \frac{1}{a} \leq 2$ 成立 C、若 $a, b \in (0, + \infty)$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、若正实数x，y满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 8$

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10. 对于实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c < b c$ ； B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ D、若 $a > b$ ， $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a > 0$ ， $b < 0$

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11. 已知 $2 (\ln a + \ln b) = \ln (a + 2 b)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 有最大值2 B、 $a b$ 有最小值2 C、 $a + 2 b$ 有最大值为4 D、 $a + 2 b$ 有最小值为4

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12. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则（）

A、目标函数 $z = x - y$ 的最小值为0 B、目标函数 $z = x + y$ 的最小值为0 C、目标函数 $z = {(x + 1)}^{2} + y^{2}$ 的最小值为5 D、目标函数 $z = {(x + 1)}^{2} + y^{2}$ 的最小值为 4

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三、填空题

13. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a b^{2} (a + 2 b) = 4$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

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14. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x + 2 y \leq 1 \\ 2 x + y \geq - 1 \\ x - y \leq 0 \end{cases}$ ，则z=2x-3y的最小值为

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15. 定义满足不等式|x $-$ A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B邻域．若a+b $-$ t（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a²+b²的最小值为．

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16. 设函数 $f (x) = x (x - 1) (x - a)$ （其中 $a > 1$ ）有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 3 | - x + 4$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集 $M$ ；

(2)、若 $t$ 为集合 $M$ 中的最大元素，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = t (a > 0, b > 0)$ ，求 $\frac{a}{9} + \frac{b}{2}$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x + a}{x - 1}$ （ $a$ 为常数），其中 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 3, 1)$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = x + f (x)$ ，当 $x (x > 1)$ 为何值时， $g (x)$ 取得最小值，并求出其最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = | a x - 3 | (a \in R)$ ，不等式 $f (x) < 1$ 的解集为 ${x | 2 < x < 4}$ ．
（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若不等式 $f (x) - | x + 4 | \geq | m - 1 |$ 有解，求实数m的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = | x - a^{2} | + | x - a + 1 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + a x - 2 (a \in R)$

(1)、若关于x的不等式 $f (x) > - 5$ 的解集为R ，求a的取值范围；

(2)、当a <0时，解关于x的不等式 $f (x) - 3 x - 1 \geq 0$ 。

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + (a - 1) ln x ， a > 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $g (x) = (2 - a) x - ln x$ ， $f (x) \geq g (x)$ 在区间 $[e ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围．

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2021年高考数学尖子生培优 专题06 不等式

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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