2021年高考数学尖子生培优专题05 数列

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 等比数列{a_n}满足a₂+a₃=2，a₂-a₄=6，则a₆=（）

A、-32 B、-8 C、8 D、64

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2. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2}^{2} + 2 a_{3} a_{7} + a_{6} a_{10} = 16$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 ${a_{n}}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且满足 $a_{n + 2} - a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人

A、225 B、255 C、365 D、465

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{4 S_{n} - 1}{2 n - 1}$ ， $a_{1} = 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $n$ B、 $n + 1$ C、 $2 n - 1$ D、 $2 n + 1$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = \ln (e^{a_{n}} + 1) - a_{n} (n \in N^{*})$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ （参考数据： $\ln 2 \approx 0.693$ ， $\ln 3 \approx 1.099$ ，则下列选项错误的是（）.

A、 ${a_{2 n - 1}}$ 是单调递增数列， ${a_{2 n}}$ 是单调递减数列 B、 $a_{n} + a_{n + 1} \leq \ln 3$ C、 $S_{2020} < 670$ D、 $a_{2 n - 1} \leq a_{2 n}$

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6. 定义：在数列 ${a_{n}}$ 中，若满足 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = d$ （ $n \in N^{*}, d$ 为常数），称 ${a_{n}}$ 为“等差比数列”，已知在“等差比数列” ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1, a_{3} = 3$ ，则 $\frac{a_{2020}}{a_{2018}}$ 等于（）

A、4×2016²－1 B、4×2017²－1 C、4×2018²－1 D、4×2018²

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7. 已知单调递增数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = a_{n} (a_{n} + 1) (n \in N^{*})$ ，且 $S_{n} > 0$ ，记数列 ${2^{n} \cdot a_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则使得 $T_{n} > 2020$ 成立的n的最小值为（）

A、7 B、8 C、10 D、11

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8. 若数列 ${b_{n}}$ 的每一项都是数列 ${a_{n}}$ 中的项，则称 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的子数列.已知两个无穷数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的各项均为正数，其中 $a_{n} = \frac{3}{2 n + 1}$ ， ${b_{n}}$ 是各项和为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，且 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的子数列，则满足条件的数列 ${b_{n}}$ 的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无穷多个

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二、多选题

9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前4项的和为 $a_{1} + 14$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $q$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q < 0$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的首项 $b_{1} > 0$ ，若 $a_{9} > b_{9}$ ，且 $a_{10} > b_{10}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $a_{9} a_{10} < 0$ B、 $a_{9} > a_{10}$ C、 $b_{10} > 0$ D、 $b_{9} > b_{10}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = p$ ， $2 S_{n} - S_{n - 1} = 2 p$ （ $n \geq 2$ ， $p$ 为非零常数），则下列结论正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、当 $p = 1$ 时， $S_{4} = \frac{15}{8}$ C、当 $p = \frac{1}{2}$ 时， $a_{m} \cdot a_{n} = a_{m + n}$ D、 $| a_{3} | + | a_{8} | = | a_{5} | + | a_{6} |$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 1$ ，数列 ${\frac{2^{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列选项正确的为（）

A、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等差数列 B、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 C、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 1$ D、 $T_{n} < 1$

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三、填空题

13. 在公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 中， $a_{1} = 10$ ， $a_{1}$ 、 $2 a_{2} + 2$ 、 $5 a_{3}$ 成等比数列，则 $a_{n} =$ .

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14. 数列{a_n}的前n项和为S_n ， a_n+2S_n=3ⁿ ，数列{b_n}满足3^bn= $\frac{1}{2}$ (3a_n+2-a_n+1)(n∈N")，则数列{b_n}的前10项和为

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15. 已知实数 $x, a_{1}, a_{2}, y$ 等成等差数列， $x, b_{1}, b_{2}, y$ 成等比数列，则 $\frac{{(a_{1} + a_{2})}^{2}}{b_{1} b_{2}}$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} + b$ 的图象过点 $(2, 9)$ 和点 $(4, 45)$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = f (n)$ ，数列 ${l o g_{2} \frac{a_{n}}{3}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则使得 $T_{n} \geq 55$ 成立的最小正整数 $n =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且2， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $n (S_{n + 1} - S_{n}) - n^{2} = (n + 1) a_{n} + n$ ．
（Ⅰ）求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列；

（Ⅱ）求数列 ${\frac{a_{n}}{n \cdot 2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“凸数列”.

(1)、设数列 ${a_{n}}$ 为“凸数列”，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = - 2$ ，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；

(2)、在“凸数列”中，求证 $a_{n + 6} = a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，且 $a_{1} + a_{3} = 20$ ， $a_{2} = 8$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且有 $S_{6} = 57$ ， $b_{4} = 11$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，对任意正整数 $n$ ，不等式 $T_{n} + \frac{3 n}{2^{n + 1}} > {(- 1)}^{n} \cdot a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 S_{n - 1} + 2 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 b_{1} = 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{2 n} = b_{2 n - 1} + 1$ ， $b_{2 n + 1} = b_{2 n} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $10$ 项和.

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22. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{1} = 1, {\sqrt{S_{n}}}$ 是公差为1的等差数列，求使 $\frac{S_{k + 1} \cdot S_{k + 2}}{S_{k}^{2}}$ 为整数的正整数 $k$ 的取值集合；

(3)、记 $b_{n} = t^{a_{n}}$ ( $t$ 为大于0的常数)，求证： $\frac{b_{1} + b_{2} + \dots \dots + b_{n}}{n} \leq \frac{b_{1} + b_{2}}{2} .$

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2021年高考数学尖子生培优 专题05 数列

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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