2021年高考数学尖子生培优专题04 平面向量

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $\vec{A B} = (1, 3)$ ， $\vec{A C} = (2, t)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、5 B、7 C、9 D、11

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且向量 $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + (2 λ - 1) \vec{b}$ ，若 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向，则实数 $λ$ 的值为 $($ $)$

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- \frac{1}{2}$ D、-1或 $- \frac{1}{2}$

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3. 如图所示，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的值是（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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4. 若 $A B$ 是以O为圆心，半径为1的圆的直径，C为圆外一点，且 $O C = 2$ .则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} =$ （）

A、3 B、-3 C、0 D、不确定，随着直径 $A B$ 的变化而变化

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5. 已知向量 $\vec{a} = (5, m)$ ， $\vec{b} = (2, - 2)$ ，若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、1 C、2 D、-5

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6. 已知 $A M ， B N$ 分别为圆 $O_{1} ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与 $O_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的直径，则 $\vec{A B} \cdot \vec{M N}$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 8]$ B、 $[0 ， 9]$ C、 $[1 ， 8]$ D、 $[1 ， 9]$

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7. $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ , $| \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，若对任意实数 $t$ ， $| k \vec{a} + t \vec{b} | > 1$ 恒成立，则实数 $k$ 的范围（）

A、 $(- \infty, - \frac{2}{\sqrt{15}}] \cup [\frac{2}{\sqrt{15}}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{2}{\sqrt{15}}) \cup (\frac{2}{\sqrt{15}}, + \infty)$ C、 $(- \frac{2}{\sqrt{15}}, \frac{2}{\sqrt{15}})$ D、 $[- \frac{2}{\sqrt{15}}, \frac{2}{\sqrt{15}}]$

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8. 已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为单位向量，且 $| \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} | \leq 2$ ，若非零向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} \leq \vec{a} \cdot \vec{e_{2}}$ ，则 $\frac{\vec{a} \cdot (2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}})}{| \vec{a} |}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 3, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 1)$ ，设 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则（）.

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ D、 $θ = 135 °$

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10. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $| A B | = 2 | C D |$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点 $O$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A D} - \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ B、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ C、 $| \vec{O A} + 2 \vec{O D} | = 0$ D、 $\vec{O A} = \frac{2}{3} \vec{D C} + \frac{1}{3} \vec{D B}$

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11. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为 $\vec{G}$ ，两个拉力分别为 $\vec{F_{1}}$ ， $\vec{F_{2}}$ ，若 $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} |$ ， $\vec{F_{1}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ．则以下结论正确的是（）

A、 $| \vec{F_{1}} |$ 的最小值为 $\frac{1}{2} | \vec{G} |$ B、 $θ$ 的范围为 $[0 ， π]$ C、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $| \vec{F_{1}} | = \frac{\sqrt{2}}{2} | \vec{G} |$ D、当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时， $| \vec{F_{1}} | = | \vec{G} |$

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12. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ 是边 $A C$ 上的点，且 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ，那么（）

A、 $\vec{O E} + \vec{O C} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{C E} = - 1$ C、 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $| \vec{D E} | = \frac{\sqrt{13}}{2}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， x)$ ，若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $| \vec{b} + \vec{c} | =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个夹角为 $\frac{π}{3}$ 的单位向量，且 $\vec{O A} = 3 \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 4 \vec{a} + 7 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} + m \vec{b}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} =$ .

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15. 设函数 $f (x) = \frac{x}{2^{x}}$ ，点 $A_{n} (n ， f (n)) (n \in N^{*})$ ， $A_{0}$ 为坐标原点，若向量 $\vec{a_{n}} = \vec{A_{0} A_{1}} + \vec{A_{1} A_{2}} + \dots + \vec{A_{n - 1} A_{n}}$ ，设 $\vec{i} = (1 ， 0)$ ，且 $θ_{n}$ 是 $\vec{a_{n}}$ 与 $\vec{i}$ 的夹角，记 $S_{n}$ 为数列 ${\tan θ_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $\tan θ_{3} =$ ， $S_{n} =$ .

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16. 在面积为2的 $△ A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $P$ 在直线 $E F$ 上，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P B} + {\vec{B C}}^{2}$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，3)，B(2，-2)，C(4， 1).

(1)、若 $\vec{A B} = 3 \vec{C D} ，$ 求点D的坐标；

(2)、设实数k满足 $(k \vec{A B} + 2 \vec{O C}) \cdot \vec{O C} = 4$ ，求实数k的值.

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18. 已知向量 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (m, - 2)$ ， $\vec{O C} = (- 3, 1)$ ，O为坐标原点.

(1)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，求实数m的值；

(2)、在（1）的条件下，求 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 所成角的余弦值.

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19. 已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 \vec{b} |$

(1)、求 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | = 1$ ，求 $| t \vec{a} + \frac{1}{t} \vec{b} | (t > 0)$ 的最小值.

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20. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .
（Ⅰ）若 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ，平面向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} + \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，求 $| \vec{c} |$ 的最大值；
（Ⅱ）若平面向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{c} - \vec{b} | = 1$ ， $1 \leq | \vec{c} | \leq \sqrt{5}$ ，求 $| \vec{c} - \vec{a} - \vec{b} |$ 的取值范围.

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21. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ 的值；

(2)、若不等式 $| \vec{a} + x \vec{b} | \geq | \vec{a} + \vec{b} |$ 对一切实数x恒成立，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小．

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22. 已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{3}{2} x, \sin \frac{3}{2} x)$ ， $\vec{b} = (\sin \frac{x}{2}, - \cos \frac{x}{2})$ （ $x \neq k π$ ， $k \in Z$ ），令 $f (x) =$ $\frac{{(λ \vec{a} + \vec{b})}^{2}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ （ $λ \in R$ ）.

(1)、化简 $f (x) = \frac{{(λ \vec{a} + \vec{b})}^{2}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ ，并求当 $λ = 1$ 时方程 $f (x) = - 2$ 的解集；

(2)、已知集合 $P = {h (x) | h (x) + h (- x) = 2$ ， $D$ 是函数 $h (x)$ 与 $h (- x)$ 定义域的交集且 $D$ 不是空集 $}$ ，判断元素 $f (x)$ 与集合 $P$ 的关系，说明理由.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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