2021年高考数学尖子生培优专题03 三角函数与解三角形

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan α = - 3$ ，则 $\sin (α - \frac{π}{4})$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. △ $A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A = \frac{2 π}{3}$ ， $b = 3$ ，三角形 $A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，则边 $a$ 的长为（）

A、 $\sqrt{19}$ B、 $\frac{\sqrt{91}}{2}$ C、7 D、49

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3. 若将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后.得到的函数图象关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称.则函数 $g (x) = \cos (x + φ)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值是（）．

A、-1 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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4. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示.则 $f (x)$ 的解析式为（）．

A、 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{12})$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{3 π}{4})$

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5. 已知函数 $f (x) = \cos x$ 与 $g (x) = \sin (2 x + φ) (0 ⩽ φ < π)$ 的图象有一个横坐标为 $\frac{π}{3}$ 的交点，若函数 $g (x)$ 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍后，得到的函数在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{29}{24} ， \frac{35}{24})$ B、 $[\frac{29}{24} ， \frac{35}{24}]$ C、 $(\frac{29}{24} ， \frac{35}{24})$ D、 $(\frac{29}{24} ， \frac{35}{24}]$

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6. 将函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，那么下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $g (x)$ 是偶函数 C、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 1$ ， $a (2 \sin B - \sqrt{3} \cos C) = \sqrt{3} \cos A$ ，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，且 $A G = \frac{\sqrt{13}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ 或 $\sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，其图象与直线 $y = 1$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，若对 $\forall x \in (\frac{π}{24} ， \frac{π}{3})$ ，不等式 $f (x) > \frac{1}{2}$ 恒成立，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ B、 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $a = \sqrt{10}, a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b \sin C$ ， $a \cos B + b \sin A = c$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\tan C = 2$ B、 $A = \frac{π}{4}$ C、 $b = \sqrt{2}$ D、 $△ A B C$ 的面积为6

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）

A、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6} ， 0) ， k \in z$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{π}{12}] ， k \in z$ D、直线 $x = - \frac{2}{3} π$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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11. 已知函数 $f (x) = \sin [\cos x]$ （[ $x$ ]表示不超过实数 $x$ 的最大整数部分），则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递减 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sin 1 ， \sin 1]$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (0 < ω \leq 3)$ 的图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{8}$ ， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $g (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 是函数 $g (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}$

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三、填空题

13. 若 $\sin (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} + 2 α) =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = 4 \sqrt{3} S$ ，则 $C$ 的值为.

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15. 将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向右平移 $a (a > 0)$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，若存在 $x_{0} \in R$ 使得 $f (x_{0}) - g (x_{0}) = - 4$ ，则 $a$ 的最小值为.

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16. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $A B$ 、直角边 $B C$ 、 $A C$ ， $N$ 为 $A C$ 的中点，点 $D$ 在以 $A C$ 为直径的半圆上.已知以直角边 $A C$ ， $B C$ 为直径的两个半圆的面积之比为3， $\sin ∠ D A B = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos ∠ D N C =$ ．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a \cdot \cos x \sin x + 1 - 2 \cos^{2} x$ ，且 $f (- \frac{π}{3}) = f (0)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{24} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的最大值和最小值.

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18. 已知△ $A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 4$ ，________，求△ $A B C$ 的周长L和面积S.
在① $\cos A = \frac{3}{5}$ ， $\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，② $c \sin C = \sin A + b \sin B$ ， $B = 60^{°}$ ，③ $c = 2$ ， $\cos A = - \frac{1}{4}$ 这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.

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19. $Δ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，设 ${(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin^{2} A - \sin B \sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、当 $a = 6$ 时，求其面积的最大值，并判断此时 $Δ A B C$ 的形状.

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20. 设函数 $f (x) = \sin x \cdot \sin (\frac{π}{2} + x) + \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $f (A) = 1 ， a = 2 \sqrt{7} ， \tan C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 已知向量 $\vec{m} = (\cos 2 x, \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x)$ ， $\vec{n} = (1, \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 取得最大值时 $x$ 取值的集合；

(2)、设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若 $\cos B = \frac{3}{5}$ ， $f (C) = - \frac{1}{4}$ ，求 $\cos A$ 的值.

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22. 如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的 $C$ 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是 $∠ E C F = \frac{π}{6}$ ，点 $E ， F$ 在直径 $A B$ 上，且 $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ．

(1)、若 $C E = \sqrt{13}$ ，求 $A E$ 的长；

(2)、设 $∠ A C E = α$ ，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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