2021年高考数学尖子生培优专题02 函数、导数

试卷更新日期：2021-01-17 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 设a=log₂₀₂₀ $\sqrt{2021}$ ，b=ln $\sqrt{2}$ ，c=2021 $\frac{1}{2020}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、a>b>c B、a>c>b C、c>a>b D、c>b>a

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2. 函数 $f (x) = 2^{\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}}$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(2, + \infty)$

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3. 已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx。若f(x)=1+2lnt，g(x₂)=t² ，则(x₁x₂-x₂)lnt的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{2}{e}$ C、- $\frac{1}{2 e}$ D、- $\frac{1}{e}$

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4. 已知 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若函数 $f (x)$ 同时满足：（1）对于定义域上的任意 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；（2）对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $x_{1} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > x_{2} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”．给出下列四个函数：① $f (x) = x^{2}$ ；② $f (x) = x^{3}$ ；③ $f (x) = \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ ；④ $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x, x \geq 0 \\ - x^{2} + 4 x, x < 0 \end{array}$ ，其中被称为“理想函数”的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x \leq 2 \\ - x + 5 ， x > 2 \end{array}$ ，若实数 $a ， b ， c$ 满足 $a < b < c$ 且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围为（）

A、 $(5 ， 34)$ B、 $(5 ， 37)$ C、 $(18 ， 34)$ D、 $(18 ， 37)$

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7. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导数 $f^{'} (x)$ ，对于任意的实数 $x$ ，有 $f (x) + f (- x) = 2 x^{2}$ ，当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f^{'} (x) + 3 \leq 2 x$ ，若 $f (m + 2) + f (m) \leq 2 m^{2} - 2 m - 2$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $m \geq - 1$ D、 $m \leq - 1$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x}}{x} ， x \in [1 ， 2] ，$ 且 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 2] ， x_{1} \neq x_{2} ， \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{4}{e^{2}}]$ B、 $[\frac{4}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $[0 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知 $f (x)$ 是定义域为R的函数，满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ， $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则下列说法正确的是（）.

A、函数 $f (x)$ 的周期为4 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、当 $0 \leq x \leq 4$ 时， $f (x)$ 的最大值为2 D、当 $6 \leq x \leq 8$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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10. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \ln x | ， x > 0 \\ e^{x} (x + 1) ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} - a f (x) + \frac{1}{16} = 0$ 有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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11. 已知函数 $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{2})}^{| x |} - b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = - 2$ 但又不与该直线相交，则（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $[0 ， + \infty)$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 0]$ D、函数 $f (x)$ 有唯一零点

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{3}} ， x \geq 1 \end{array}$ ，函数 $g (x) = x f (x)$ ，下列选项正确的是（）

A、点 $(0 ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的零点 B、 $(- a ， + \infty)$ ， $x_{2} \in (1 ， 3)$ ，使 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- e^{- 1} ， + \infty)$ D、若关于 $x$ 的方程 ${[g (x)]}^{2} - 2 a g (x) = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是 $(\frac{2}{e^{2}} ， \frac{e^{2}}{8}) \cup (\frac{e}{2} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 若函数 $y = a x + 4 a - \sqrt{4 - x^{2}}$ 存在零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 若函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x}$ （ $a$ 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x)$ 定义在 $R$ 上的偶函数，在 $[0, + \infty)$ 是增函数，且 $f (x^{2} + a x + b) \leq f (2 x^{2} + 4 x + 1)$ 恒成立，则不等式 $a^{\sin \frac{π}{2} x} \geq b^{2 x - x^{2} - 2}$ 的解集为.

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16. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 3) = f (x) + 1$ ，且 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 6^{x}$ ， $x \in (1 ， 3)$ 时， $f (x) = \frac{f (1)}{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数为.

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四、解答题

17. 函数 $y = f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2 x - x^{2}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x) - 1}{x}, x \in (- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + b$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = 0$ .

(1)、求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值与最小值之和.

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19. 已知函数 $f (x) = \lg (\frac{1}{x} + a)$

(1)、设 $f^{- 1} (x)$ 是 $f (x)$ 的反函数，当 $a = 1$ 时，解不等式 $f^{- 1} (x) < \frac{1}{2}$ ；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + \lg (x^{2}) = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求实数 $a$ 的值；

(3)、设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t, t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过 $\lg 2$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20. 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 $x (x \in [0, 10])$ （万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到 $t = k \cdot (6 - \frac{12}{x + 4})$ （万件），其中k为工厂工人的复工率 $(k \in [0.5, 1])$ ，A公司生产t万件防护服还需投入成本 $(20 + 8 x + 50 t)$ （万元）.

(1)、将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；

(2)、对任意的 $x \in [0, 10]$ （万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）

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21. 已知函数 $f (x) = x (\ln x - k - 1)$ ， $k \in R$ .

(1)、当 $x > 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若对于任意 $x \in [e ， e^{2}]$ ，都有 $f (x) < 4 \ln x$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $x_{1} \cdot x_{2} < e^{2 k}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{4}{3}$ ， $g (x) = e^{x} - a x (x \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[a - 5 ， a - 1]$ 上的最大值为 $\frac{4}{3}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $h (x) = \frac{3}{2} f (x) - x + 1$ ， $F (x) = {\begin{matrix} h (x) ， h (x) \leq g (x) \\ g (x) ， h (x) > g (x) \end{matrix}$ ，记 $x_{1} ， x_{2} ， \dots x_{n}$ 为 $F (x)$ 从小到大的零点，当 $a \geq e^{3}$ 时，讨论 $F (x)$ 的零点个数及大小.

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