黑龙江省八校2020-2021学年高一上学期数学摸底考试试卷

试卷更新日期：2021-01-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | x^{2} - 2 < 0}$ ，则以下关系正确的是（）

A、 $2 \in A$ B、 $0 \notin A$ C、 ${0, 1} \subseteq A$ D、 ${- 1, 1} = A$

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2. 若全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $M = {2, 3}$ ， $N = {1, 4}$ ，则集合 ${5, 6}$ 等于（）

A、 $M \cup N$ B、 $M \cap N$ C、 $(C_{U} M) \cup (C_{U} N)$ D、 $(C_{U} M) \cap (C_{U} N)$

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3. “ $x^{2} - 2 x > 0$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列命题中，真命题是（）．

A、 $\exists$ x $\in$ R，x²＋1＝x B、 $\exists$ x $\in$ R，x²＋1＜2x C、 $\forall$ x $\in$ R，x²＋1＞x D、 $\forall$ x $\in$ R，x²＋2x＞1

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5. 下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = x | x |$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = - x^{3}$

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6. 二次函数 $y = x^{2} + (a - 1)) x + 1 (a > 0)$ 只有一个零点，则不等式 $a x^{2} - 8 x - a \geq 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - \frac{1}{3} < x < 3}$ B、 ${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 3}$ C、 ${x | x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | x \leq - \frac{1}{3}$ 或 $x \geq 3}$

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7. 疫情爆发期间某种防护用品在近30天内每件的销售价格 $P$ （元）和时间 $t$ （天）的函数关系为： $P = {\begin{array}{l} t + 20 ， 0 < t < 25 ， \\ - t + 100 ， 25 \leq t \leq 30. \end{array} (t \in N^{*})$ ，设该商品的日销售量 $Q$ （件）与时间 $t$ （天）的函数关系为 $Q = 40 - t$ $(0 < t \leq 30 ， t \in N^{*})$ ，则这种商品的日销售金额最大时是第（）天？

A、10 B、20 C、25 D、30

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8. 已知 $f (x)$ 是偶函数，对于任意正实数 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $f (5) < f (- 2)$ B、 $f (2) < f (- 4)$ C、 $f (- 2) > f (- 4)$ D、 $f (- 2) < f (1)$

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二、多选题

9. 已知集合为 $A = {x \in Z | \frac{2 - x}{x + 3} \geq 1}$ ，集合 $B = {x | a x = 1}$ ，且 $A \cap B = B$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、-1 D、-2

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10. 下列选项中是同一函数的是（）

A、 $y = x$ 与 $y = \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = x$ 与 $u = \sqrt[3]{v^{3}}$ C、 $y = x$ 与 $m = \frac{n^{2}}{n}$ D、 $y = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 - x}$ 与 $u = \sqrt{1 - v^{2}}$

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11. 下列不等式正确的是（）

A、若 $x < 0$ ，则 $x + \frac{1}{x} \leq - 2$ B、若 $x \in R$ ，则 $\frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} \geq 2$ C、若 $x \in R$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + 1} < 1$ D、若 $x > 0$ ，则 $(1 + x) (1 + \frac{1}{x}) \geq 4$

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12. 若函数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ，则不等式 $f (x^{2} - 3) + f (1 - x) < 0$ 成立的必要不充分条件是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 3) \cup (4 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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三、填空题

13. 若幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \frac{1}{4})$ ，则该函数的解析式为.

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14. 若函数 $y = \frac{m x - 1}{m x^{2} + 4 m x + 3}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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15. 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是

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16. 以下说法正确的是．
①函数 $y = \frac{\sqrt{x - 4}}{| x | - 5}$ 的定义域为 $(4, 5) \cup (5, + \infty)$

②函数 $y = x - \sqrt{x + 1}$ 的值域为 $[- \frac{5}{4}, + \infty)$

③函数 $y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ 的值域是 $(- 1, 1)$

④函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在 $[5, 20]$ 上不具有单调性，则实数k的取值范围为 $(40, 160)$ ．

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四、解答题

17. 设集合 $P = {x | - x^{2} + x + 6 > 0}$ ， $Q = {x | a \leq x \leq a + 3}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求集合 $P \cap (∁_{R} Q)$ ；

(2)、若 $P \cup Q = P$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18. 已知命题：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + m x + m \geq 0$ ”是真命题．

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $M$ ；

(2)、设不等式 $(x - a) (x + a - 2) < 0$ 的解集为 $N$ ，若 $x \in N$ 是 $x \in M$ 的必要条件，求 $a$ 的取值范围．

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19.

(1)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ 且 $9 x + y = x y$ ，求 $x + y$ 的最小值．

(2)、设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为正数，且 $a + b + c = 1$ ．证明： $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x + a}{x^{2} + b x + 1}$ 是定义域为 $R$ 的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、若 $y = f (x)$ 是在 $(1, + \infty)$ 上单调递减，且不等式 $f (t^{2} - 2 t + 3) + f (k - 1) < 0 (k < 0)$ 对任意的 $t \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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21. 用定义法讨论函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性．

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22. 已知函数 $g (\sqrt{x} + 2) = x + 2 \sqrt{x} + 1$ 1

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $f (x) = \frac{g (x) - 2 x}{x}$ ，若存在 $x \in [\frac{1}{3}, 3]$ 使 $f (x) - k x \leq 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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