江苏省苏州市吴江区2017年高考数学三模试卷

试卷更新日期：2017-10-16 类型：高考模拟

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．

1. 已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B= ．

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2. 设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ．

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3. 设a∈R，则“a＞1”是“a²＞l”的条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”）

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4. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |= $\frac{1}{2}$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小是．

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 $\sqrt{5}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为．

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6. 已知函数f（x）=（2x+1）e^x（e是自然对数的底），则函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为．

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7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为35，则输入的a的值为．

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8. 若tanα= $\frac{3}{4}$ ，则cos²α+2sin2α= ．

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9. 当实数x，y满足 ${\begin{matrix} x + 2 y - 4 \leq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ 时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．

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10. 已知O为坐标原点，F是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为．

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11. 已知M是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），若△MBC，△MCA，△MAB的面积分为x，y，z，则 $\frac{1}{x + y} + \frac{x + y}{z}$ 的最小值分别为．

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12. 若S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S₁₀=55．记b_n=[lna_n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．则数列{b_n}的前2017项和为．

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13. 如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A= $\frac{π}{2}$ ，∠B= $\frac{2 π}{3}$ ，AB=6．在AB边上取点E使得BE=1，连结EC，ED，若∠CED= $\frac{2 π}{3}$ ，EC= $\sqrt{7}$ ．则CD= ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + \frac{4}{e} ， x < 0 \\ \frac{2 x}{e^{x}} ， x \geq 0 \end{matrix}$ 若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），则 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}}$ 的范围是．

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二、解答题．

15. 已知函数 $f (x) = 4 s i n x c o s (x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3}$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{6}]$ ．

(1)、求函数f（x）的值域；

(2)、已知锐角△ABC的两边长a，b分别为函数f（x）的最小值与最大值，且△ABC的外接圆半径为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，求△ABC的面积．

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16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，且平面PAB⊥平面ABCD，若AB=2，BC=1， $A D = B D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证：PA⊥平面PBC；

(2)、若点M在棱PB上，且PM：MB=3，求证CM∥平面PAD．

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17. 有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点 $\sqrt{2}$ 百米的D点有一用于灌溉的水龙头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．

(1)、若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；

(2)、若要在△ABO区域内（含边界）规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和π）

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18. 平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
抛物线E：x²=4y的焦点F是C的一个顶点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设与坐标轴不重合的动直线l与C交于不同的两点A和B，与x轴交于点M，且 $P (\frac{1}{2} ， 2)$ 满足k_PA+k_PB=2k_PM ，试判断点M是否为定点？若是定点求出点M的坐标；若不是定点请说明理由．

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19. 各项为正的数列{a_n}满足 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2}}{λ} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，

(1)、当λ=a_n+1时，求证：数列{a_n}是等比数列，并求其公比；

(2)、当λ=2时，令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} + 2}$ ，记数列{b_n}的前n项和为S_n ，数列{b_n}的前n项之积为T_n ，求证：对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值．

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20. 已知函数f（x）=lnx+ax²（a∈R），y=f（x）的图象连续不间断．

(1)、求函数y=f（x）的单调区间；

(2)、当a=1时，设l是曲线y=f（x）的一条切线，切点是A，且l在点A处穿过函数y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求切线l的方程．

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21. 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．证明：CA是△ABC外接圆的直径．

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22. 二阶矩阵M对应的变换T将点（﹣2，1）与（1，0）分别变换成点（3，0）与（1，2）．求矩阵M的特征值．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \sqrt{3} c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．若点P在曲线C上运动，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．

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24. 已知a+b+c=1，证明：（a+1）²+（b+1）²+ ${(c + 1)}^{2} \geq \frac{16}{3}$ ．

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三、解答题

25. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．

(1)、求平面BPC的法向量；

(2)、求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

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26. 对于n维向量A=（a₁ ， a₂ ， …，a_n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a_i=0或a_i=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义 $d (A ， B) = \sum_{i = 1}^{n} | a_{i} - b_{i} |$ ．

(1)、若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．

(2)、现有一个5维T向量序列：A₁ ， A₂ ， A₃…，若A₁=（1，1，1，1，1）且满足：d（A_i ， A_i+1）=2，i∈N^* ．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．

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