江苏省南京师大附中2017年高考数学二模试卷

试卷更新日期：2017-10-16 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），则A∪B= ．

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2. 设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为．

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3. 射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为．

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4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．

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5. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线x²=2py（p＞0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为．

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6. 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为．

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7. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则当2x﹣y取得最小值时，x²+y²的值为．

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8. 已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）= $\frac{1}{3}$ tanx的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为．

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9. 在平面直角坐标系xOy中，P是曲线C：y=e^x上的一点，直线l：x+2y+c=0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为．

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10. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2， $\vec{A D} = \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{E B}$ ，若 $\vec{B D} \cdot \vec{A C} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{C E} \cdot \vec{A B}$ = ．

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11. 以知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1），则关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m²）＜0的解集为．

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12. 在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：（x﹣1）²+y²=4上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为．

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13. 公比为q（q≠1）的等比数列a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的q的取值的代数和为．

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14. 设常数k＞1，函数y=f（x）= ${\begin{matrix} \sqrt{1 - x^{2}} - x ， 0 \leq x < 1 \\ k f (x - 1) - k x ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则f（x）在区间[0，2）上的取值范围为．

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二、解答题

15. 已知角α的终边上有一点p（1，2），
（Ⅰ）求tan（ $α + \frac{π}{4}$ ）的值；
（Ⅱ）求sin（2 $α + \frac{5 π}{6}$ ）的值．

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16. 如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且 $A B = B C = C A = \sqrt{3}$ ，AD=CD=1．

(1)、求证：BD⊥AA₁；

(2)、若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC₁D₁ ．

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17. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的右准线的方程为x= $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$ ，左、右两个焦点分别为F₁（ $- 2 \sqrt{2} ， 0$ ），F₂（ $2 \sqrt{2} ， 0$ ）．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过F₁ ， F₂两点分别作两条平行直线F₁C和F₂B交椭圆E于C，B两点（C，B均在x轴上方），且F₁C+F₂B等于椭圆E的短轴的长，求直线F₁C的方程．

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18. 如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ，

(1)、用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围．

(2)、当θ为何值时，观光道路最长？

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19. 已知函数f（x）=x³ $+ \frac{3}{2}$ （1﹣a）x²﹣3ax+1，a＞0．

(1)、试讨论f（x）（x≥0）的单调性；

(2)、证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有﹣1≤f（x）≤1；

(3)、设（1）中的p的最大值为g（a），求g（a）的最大值．

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20. 设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S_n ，且a₁a₅=64，S₅﹣S₃=48．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设有正整数m，l（5＜m＜l），使得a_m ， 5a₅ ， a_l成等差数列，求m，l的值；

(3)、设k，m，l∈N*，k＜m＜1，对于给定的k，求三个数 5a_k ， a_m ， a_l经适当排序后能构成等差数列的充要条件．

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21. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判．每局比赛结束时，负的一方在下局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲胜丙、乙胜丙的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，各局比赛的结果相互独立，第一局甲当裁判．

(1)、求第3局甲当裁判的概率；

(2)、记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的分布列和数学期望．

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22. 已知函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x），x∈（0，1）．

(1)、求f（x）的最小值；

(2)、若a+b+c=1，a，b，c∈（0，1）．求证：alna+blnb+clnc≥（a﹣2）ln2．

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