甘肃省张掖市2017年高考理数一诊试卷

试卷更新日期：2017-10-16 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|y= $\sqrt{4 - x^{2}}$ }，则A∩B等于（　　）

A、[﹣2，2] B、{﹣1，0，1} C、{﹣2，﹣1，0，1，2} D、{0，1，2，3}

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2. 若复数 $\frac{a + 3 i}{1 + i} (a \in R ， i$ 是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（　　）

A、﹣6 B、3 C、﹣3 D、6

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3. 实数x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq 0 \\ x - y \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则使得z=2y﹣3x取得最小值的最优解是（　　）

A、（1，0） B、（0，﹣2） C、（0，0） D、（2，2）

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4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA= $\frac{1}{2}$ asinC，则sinB等于（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　　）

A、f（x）= $\frac{| x |}{x}$ B、f（x）= $\frac{c o s x}{x}$ （﹣ $\frac{π}{2}$ ＜x＜ $\frac{π}{2}$ ） C、f（x）= $\frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ D、f（x）=x²ln（x²+1）

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6. 下列说法正确的是（）

A、若a∈R，则“ $\frac{1}{a}$ ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B、“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件 C、若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤ $\sqrt{2}$ ”，则￢p是真命题 D、命题“∃x₀∈R，使得x₀²+2x₀+3＜0”的否定是“∀x∈R，x²+2x+3＞0”

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7. 过抛物线y²=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为 $\frac{10}{3}$ ，则|AB|=（　　）

A、 $\frac{13}{3}$ B、 $\frac{14}{3}$ C、5 D、 $\frac{16}{3}$

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8. 等差数列{a_n}中， $\frac{a_{n}}{a_{2 n}}$ 是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（　　）

A、1 B、 ${1 ， \frac{1}{2}}$ C、 ${\frac{1}{2}}$ D、 ${0 ， \frac{1}{2} ， 1}$

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9. 若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ π B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ π C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ π D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ π

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10. 已知抛物线y²=8x的焦点到双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于 $\sqrt{3}$ ，则双曲线E的离心率的取值范围是（）

A、（1， $\sqrt{2}$ ] B、（1，2] C、[ $\sqrt{2}$ ，+∞） D、[2，+∞）

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11. 已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（　　）

A、2468 B、3501 C、4032 D、5739

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12. 设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log₂x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A、（1，+∞） B、（2+ $\frac{1}{l n 2}$ ，+∞） C、（2﹣ $\frac{1}{l n 2}$ ，+∞） D、（3，+∞）

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=| $\vec{b}$ |=1， $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ ），则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |的值为．

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14. 在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使 $\sqrt{2} \leq \sqrt{2} s i n θ + \sqrt{2} c o s θ \leq 2$ 成立的概率为．

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15. 设f（x）是（x²+ $\frac{1}{2 x}$ ）⁶展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ]上恒成立，则实数m的取值范围是．

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16. 定义在R上的函数f（x），对任意的实数x，均有f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2且f（1）=2，则f（2015）的值为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a_n=﹣3S_n+4，b_n=﹣log₂a_n+1 ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式与数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n= $\frac{b_{n}}{2^{n + 1}}$ + $\frac{1}{n (n + 1)}$ ，其中n∈N*，若数列{c_n}的前n项和为T_n ，求T_n ．

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18. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
年龄
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65]
支持“延迟退休”的人数
15
5
15
28
17

(1)、由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否95%的把握认为以45岁为界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持有差异；

45岁以下
45岁以上
总计
支持

不支持

总计

(2)、若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人．
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；
②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
P（K²≥k₀）
0.100
0.050
0.010
0.001
k₀
2.706
3.841
6.635
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x= $\frac{5}{4}$ a上的任意一点，且（ $\vec{P F}$ + $\vec{P E}$ ）• $\vec{E F}$ =2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点（点A在第一象限），动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．

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21. 设函数f（x）= $\frac{x^{2}}{2}$ ﹣alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，e²]内恰有两个零点，试求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线 $C_{1} ： {\begin{matrix} x = c o s α \\ y = s i n^{2} α \end{matrix}$ （α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2} ： ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，曲线C₃：ρ=2sinθ．

(1)、求曲线C₁与C₂的交点M的直角坐标；

(2)、设点A，B分别为曲线C₂ ， C₃上的动点，求|AB|的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|2x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜|x﹣1|的解集；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求 $\frac{m^{2} + 2}{m}$ + $\frac{n^{2} + 1}{n}$ 的最小值．

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年龄	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65]
支持“延迟退休”的人数	15	5	15	28	17

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	10.828

	45岁以下	45岁以上	总计
支持
不支持
总计