陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高三上学期理数11月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-01-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x \in N | - 2 \leq x < 4}$ ， $N = {x \in N | (x + 1) (x - 3) < 0}$ ，则 $∁_{M} N$ 中元素的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若 $α$ 为第三象限角，则（）

A、 $\cos 2 α > 0$ B、 $\cos 2 α < 0$ C、 $\sin 2 α > 0$ D、 $\sin 2 α < 0$

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3. 饕餮(tāo tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为 $1$ ，有一点 $P$ 从 $A$ 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过 $3$ 次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点 $B$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{8}$

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4. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）

A、27 B、42 C、55 D、210

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5. 设两圆 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 都和两坐标轴相切，且都过点 $(1, 2)$ ，则两圆心的距离 $| C_{1} C_{2} | =$ （）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 k + 1} = 85$ ， $a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2 k} = 42$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线与函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 的图象相切，则该双曲线离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 设函数 $f (x) = ln (1 + x) - ln (1 - x)$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、奇函数，且在 $(0 ， 1)$ 上是增函数 B、奇函数，且在 $(0 ， 1)$ 上是减函数 C、偶函数，且在 $(0 ， 1)$ 上是增函数 D、偶函数，且在 $(0 ， 1)$ 上是减函数

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10. 已知 $△ A B C$ 是边长为 $3$ 的等边三角形，且其顶点都在球 $O$ 的球面上．若球 $O$ 的体积为 $\frac{32}{3} π$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{9}{8} \sqrt{3}$ D、 $\frac{9}{4}$

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11. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $f^{'} (x) - f (x) < 3$ ，若 $f (1) = - 2$ ，则不等式 $f (x) + 3 >$ $e^{x - 1}$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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12. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 $[0 ， 1]$ 均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 $[0 ， \frac{1}{3}]$ ， $[\frac{2}{3} ， 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于 $\frac{4}{5}$ ，则需要操作的次数 $n$ 的最小值为（）参考数据： $\lg 2 = 0.3010$ ， $\lg 3 = 0.4771$

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $(\vec{a} + t \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$

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14. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为.

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15. 复数 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限， $| z | = 1$ ，且 $z + \bar{z} = 1$ ，则 $z =$ .

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16. 已知下列命题：
$p_{1}$ ：若直线 $l$ 与平面 $α$ 有两个公共点，则直线 $l$ 在平面 $α$ 内.

$p_{2}$ ：若三条直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 互相平行且分别交直线 $l$ 于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，则这四条直线共面.

$p_{3}$ ：若直线 $l$ 与平面 $α$ 相交，则 $l$ 与平面 $α$ 内的任意直线都是异面直线.

$p_{4}$ ：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交.

则下述命题中所有真命题的序号是．

① $p_{1} \land p_{4}$ ② $p_{1} \land p_{2}$ ③ $\neg p_{2} \lor p_{3}$ ④ $\neg p_{3} \lor \neg p_{4}$

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a \cos C = 2 b - c$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围．

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18. 某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数 $r = 0.81$ ；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ，2，…，30），其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 $\sum_{i = 1}^{30} x_{i} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{30} y_{i} = 1200$ ， $\sum_{i = 1}^{30} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 90$ ， $\sum_{i = 1}^{30} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 8000$ ， $\sum_{i = 1}^{30} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 800$ .
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ；相关系数 $| r | \in [0.75, 1]$ ，则相关性很强， $| r |$ 的值越大，相关性越强.

(1)、求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

(2)、求方案二抽取的样本 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ，2，…，30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $E$ 上.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设直线 $l : y = k x + 2$ 与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 2$ ，求 $k$ 的值.

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20. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ， $E$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点， $E C = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $E D D_{1} ⊥$ 平面 $E D C$ ；

(2)、求直线 $D_{1} B$ 与平面 $D_{1} E C$ 所成角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x - 1 - a \ln x (a < 0)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 4 | \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} |$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{4 t}{1 + t^{2}} \end{cases}$ （t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ $\sqrt{3}$ ρsinθ+11=0。

(1)、求C和l的直角坐标方程；

(2)、求C上的点到l距离的最小值。

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x + 4 | - 2 | x |$ ．

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求不等式 $f (x - 1) > f (x)$ 的解集．

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