安徽省十校联盟2020-2021学年高三上学期理数11月段考试卷

试卷更新日期：2021-01-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in N ∣ x^{2} - 8 x < 0}, B = {x ∣ \log_{2} x > 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(4, 8)$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${5, 6, 7}$ D、 ${5, 6, 7, 8}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq 0 \\ a - \log_{2} x, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (f (- 1)) = - 1$ ，则 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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3. 若 $\tan α = 3, \tan β = 2$ ，则 $\tan (α - 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{13}{9}$ B、1 C、 $- \frac{9}{13}$ D、-1

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4. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n}^{2} - a_{n + 1} = 4 (a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、74

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5. 若m∈R，则“ $\exists x_{0} \in R$ ， $m \cos x_{0} + 2 < 0$ ”是“m<-2”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在 $△$ ABC中，D是边AC上的点，E是直线BD上一点，且 $\vec{D C} = 4 \vec{A D}$ ， $\vec{B E} = 2 \vec{B D}$ ，若 $\vec{A E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则m-n=（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $- \frac{7}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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7. 若直线 $2 a x + b y - 2 = 0$ $(a > 0, b > 0)$ 过函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + 2$ 图象的对称中心，则 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、9

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8. 函数 $f (x) = \frac{1 - 5^{x}}{1 + 5^{x}} \cdot \sin (2 x + \frac{3 π}{2})$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若 $a = {0.44}^{0.55}, b = {0.55}^{0.44}, c = \log_{0.55} 0.44$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ . C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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10. 2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度.随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是出一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形（如图所示），为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{8}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象既关于点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 中心对称，又关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，且函数 $g (x) = f (x) - \sqrt{2}$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上的零点不超过2个，现有如下三个数据：① $ω = 3$ ；② $ω = 10$ ；③ $ω = 18$ ，则其中符合条件的数据个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 定义在 $R$ 上的连续函数 $f (x)$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ．若对任意不等于 $- 1$ 的实数 $x$ ，均有 $(x + 1) [f (x) - f^{'} (x)] > 0$ 成立，且 $f (- 1 + x) = f (- 1 - x) e^{2 x}$ ，则下列命题中一定成立的是（）

A、 $f (- 1) > f (0)$ B、 $e f (- 2) < f (- 1)$ C、 $e^{2} f (- 2) < f (0)$ D、 $e^{2} f (- 2) > f (0)$

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二、填空题

13. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y + 2 \geq 0 \\ x - y + 1 \leq 0 \\ y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为.

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14. 已知曲线 $f (x) = a (3 x - 2) - e^{3 x}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与直线 $2 x - y + 3 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = x + \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ，若 $f (a) + f (a + 1) > 0$ ，则实数a的取值范围是.

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16. 设首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${{(- 1)}^{n} \cdot \frac{4 a_{n}}{(2 n - 1) (2 n + 1)}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $S_{n + 1} = \frac{n + 2}{n} S_{n}$ ，则使得 $a_{2020} \cdot | T_{n} + 1 | < 1$ 成立的最小的n的值为.

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三、解答题

17. 已知 $m \in R$ ，命题 $p : \exists x_{0} \in [- 1, 1]$ ，使得 $2 x_{0} - 2 \geq m^{2} - 4 m$ 成立；命题 $q : \forall x \in [- 1, 1]$ ，不等式 $m \leq - x$ 恒成立.

(1)、若 $p$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 为假， $p \lor q$ 为真，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ ，先将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、当 $x \in [\frac{2 π}{3} ， π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的单调递增区间.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 2, \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 a \cos A} = \frac{\tan A}{\tan B}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积S满足 $S = 2 \cos A$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{C A}$ 的值；

(2)、若边 $B C$ 上的中线为 $A D$ ，求 $A D$ 长的最小值.

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，且 $8, 3 a_{2} + 2, \frac{5}{2} a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的公比大于1，求数列 ${(2 n - 1) \cdot a_{n}^{2}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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21. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 3, 3]$ 上的奇函数，且当 $x \in [0, 3]$ 时， $f (x) = 4^{x} + a \cdot 3^{x}$ （ $a$ 为常数）.

(1)、当 $x \in [- 3, 0)$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = m \cdot 2^{- x} + 3^{1 - x}$ 在 $[- 2, - 1]$ 上有解，求实数m的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = (\ln x - k - 1) x (k \in R)$ .

(1)、若对于任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 3]$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{2 (x_{2} - x_{1})}{x_{1} x_{2}}$ 恒成立，求k的取值范围；

(2)、若对于任意 $x \in [\frac{1}{e} ， e^{2}] ， f (x) > 3 \ln x$ 恒成立，求k的最大整数值.

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