辽宁省鞍山市岫岩县2021届九年级上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-01-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若关于x的方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 有一个根为-2，则a的值是（）

A、4 B、-2 C、-3 D、-4

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2. 将二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（）

A、 $y = {(x + 2)}^{2} - 1$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 5$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} + 5$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$

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3. 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）

A、75° B、45° C、60° D、15°

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4. 关于二次函数 $y = 2 x^{2} - 1$ 的下列结论，不正确的是（）

A、图象的开口向上 B、当 $x < 0$ 时，y随x的增大而减小 C、图象经过点 $(1, 1)$ D、图象的对称轴是直线 $x = 1$

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5. 一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（　　）

A、是轴对称图形，但不是中心对称图形 B、是中心对称图形，但不是轴对称图形 C、既是轴对称图形，又是中心对称图形 D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

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6. 如图， $Δ A B C$ 的顶点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，顶点C在x轴上， $A B / / x$ 轴，若点B的坐标为 $(1 ， 3)$ ， $S_{Δ A B C} = 2$ ，则k的值为（）

A、4 B、-4 C、7 D、-7

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7. 如图，在⊙O中，点B是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，点 $D$ 在 $\overset{⌢}{B A C}$ 上，连接 $O A$ 、 $O B$ 、 $B D$ 、 $C D$ .若 $∠ A O B = 50 °$ ，则 $∠ B D C$ 的大小为（）

A、50° B、350° C、25° D、150°

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8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象与正方形 $O A B C$ 的两边 $A B$ 、 $B C$ 分别交于点M、N， $N D ⊥ x$ 轴，垂足为D，连接 $O M$ 、 $O N$ 、 $M N$ ，下列结论错误的是① $△ O C N ≌ △ O A M$ ；②四边形 $D A M N$ 与 $△ O M N$ 面积相等；③ $O N = M N$ ；④若 $∠ M O N = 45 %$ ， $M N = 2$ ，则点C的坐标为 $(0 ， \sqrt{2} + 1)$ .其中正确的结论有（）

A、①② B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

9. 已知点 $A (5, - 3)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上的图象上，则k的值为.

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10. 抛物线 $y = 3 x^{2} + 6 x + 11$ 的顶点坐标为.

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11. 我国快递业务逐年增加，2017年至2019年快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为.

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ .将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，点C的对应点C'落在 $A B$ 边上， $A^{'} B = 5$ ，连接 $A A^{'}$ .则 $A A^{'}$ 长为.

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13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以顶点A为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则r的取值范围是.

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14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 $r = 5 cm$ ，该圆锥的母线长 $l = 12 cm$ ，则扇形的圆心角 $θ$ 度数为.

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15. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，对称轴为直线 $x = 1$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的解为.

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16. 如图，在直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 是正方形，点A的坐标为 $(0 ， 1)$ ，点B的坐标为 $(2 ， 0)$ .若正方形 $A B C D$ 和正方形 $A_{1} B C_{1} B_{1}$ 关于点 $B$ 成中心对称：正方形 $A_{1} B C_{1} B_{1}$ 和正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} B_{1}$ 关于点 $B_{1}$ 成中心对称；…，依此规律，则点 $C_{6}$ 的坐标为.

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三、解答题

17. 用适当方法解方程： $x^{2} - 6 x + 3 = 0$

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18.
如图，方格纸中的每个小正方形边长都是1个长度单位，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1）．
（1）先将Rt△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A₁B₁C₁ ，试在图中画出Rt△A₁B₁C₁ ，并写出点A₁的坐标；
（2）再将Rt△A₁B₁C₁绕点A₁顺时针旋转90°后得到Rt△A₂B₂C₂ ，试在图中画出Rt△A₂B₂C₂ ，并计算Rt△A₁B₁C₁在上述旋转过程中点C₁所经过的路径长．

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19. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、设出 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程的两根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求 $m$ 的值．

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20. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件.

(1)、若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是件（直接填写结果）；

(2)、不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（列方程求解）

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21. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C，D是 $⊙ O$ 上的点， $O C // B D$ ，交 $A D$ 于点E，连结 $B C$ .

(1)、求证： $A E = E D$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积.

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22. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的图象相交于点 $A (2 ， 6)$ ，和点 $B (4 ， m)$ .

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、求出 $△ A O B$ 的面积；

(3)、直接写出不等式 $\frac{k}{x} \leq a x + b$ 的解集.

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B O$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点O，以O为圆心， $O C$ 为半径作圆，交 $O B$ 于点E.

(1)、求证： $A B$ 与 $⊙ O$ 相切.

(2)、连接 $C E$ 并延长，交 $A B$ 于点F，若 $C F ⊥ A B$ ，且 $C F = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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24. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．

销售单价x（元）

3.5

5.5

销售量y（袋）

280

120

(1)、请直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)、如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

(3)、设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

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25. 如图1、2是两个斜边比为 $1 ： \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.

(1)、在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与 $A C$ 、 $B C$ 交于点E，F，如图4，请直接写出 $A E$ ， $D F$ ， $E F$ 之间的关系：；

(2)、若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和 $C D$ 延长线分别与 $A B$ 交于点E，F，如图5，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)、如图6，在正方形 $A B C D$ 中，E、F分别是边 $B C$ 、 $C D$ 上的点，满足 $△ C E F$ 的周长等于正方形 $A B C D$ 的周长的一半， $A E$ 、 $A F$ 分别与对角线 $B D$ 交于M、N，试问线段 $B M$ 、 $M N$ 、 $D N$ 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由.

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26. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ 两点，与y轴相交于点 $C (0 ， - 3)$ ，抛物线的顶点为D.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点E在x轴上，且在点B左侧、 $∠ E C B = ∠ C B D$ ，求点 E的坐标.

(3)、若P是直线 $B C$ 下方抛物线上任意一点，过点P作 $P H ⊥ x$ 轴于点 H，与 $B C$ 交于点M.
①求线段 $P M$ 长度的最大值.

②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求 $P H + H F + \frac{\sqrt{2}}{2} C F$ 的最小值.

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销售单价x（元）	3.5	5.5
销售量y（袋）	280	120