2021年高考数学尖子生培优专题01 集合与逻辑、复数

试卷更新日期：2021-01-12 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 设集合A={x|x²-3x-4<0}；B={x||x-1|<3，x∈N}，则A∩B （）

A、{1，2，3} B、{0，1，2，3} C、{x|x-1<x<4} D、{x|-2<x<4}

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2. 已知集合 $A$ ， $B$ 是实数集 $R$ 的子集，定义 $A - B = {x | x \in A, x \notin B}$ ，若集合 $A = {\begin{matrix} y | y = \frac{1}{x} ， & \frac{1}{3} \leq x \leq 1 \end{matrix}}$ ， $B = {\begin{matrix} y | y = x^{2} - 1, & - 1 \leq x \leq 2 \end{matrix}}$ ，则 $B - A =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, 1)$

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3. 若复数 $z$ 满足 $z (i - 1) = 2 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $z$ 为实数 C、 $| z | = \sqrt{2}$ D、 $z + \bar{z} = 2 i$

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4. 对于全集 $U$ 的子集 $A$ 定义函数 $f_{A} (x) = {\begin{matrix} 1 & (x \in A) \\ 0 & (x \in ∁_{U} A) \end{matrix}$ 为 $A$ 的特征函数，设 $A ， B$ 为全集 $U$ 的子集，下列结论中错误的是（）

A、若 $A \subseteq B ，$ 则 $f_{A} (x) \leq f_{B} (x)$ B、 $f_{∁_{R}}_{A} (x) = 1 - f_{A} (x)$ C、 $f_{A \cap B} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$ D、 $f_{A \cup B} (x) = f_{A} (x) + f_{B} (x)$

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5. 给出下列四个结论：
①对于命题 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ，则 $\neg p : \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 \leq 0$ ②“ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ”的充分不必要条件；③命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为：“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ”；④若命题 $p \land q$ 为假命题，则 $p$ ， $q$ 都是假命题；其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知命题 $p$ ：“若 $Δ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A < \cos B$ ”；命题 $q$ ：“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $a \sin x_{0} + \cos x_{0} ⩾ 3$ 成立”若命题 $p$ 与命题 $q$ 的真假相同，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ D、 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

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7. 欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 $\cos θ$ 和 $\sin θ$ 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 $(e^{i π} - \bar{z}) \cdot i = 1 + i^{2021}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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8. 记不等式组 ${\begin{array}{l} x + y ⩾ 6 ， \\ 2 x - y \geq 0 \end{array}$ 表示的平面区域为D.命题 $p ： \exists (x ， y) \in D ， 2 x + y ⩾ 9$ ；命题 $q ： \forall (x ， y) \in D ， 2 x + y ⩽ 12$ .下面给出了四个命题（   ）
① $p \lor q$                 ② $\neg p \lor q$             ③ $p \land \neg q$             ④ $\neg p \land \neg q$

这四个命题中，所有真命题的编号是（   ）

A、①③ B、①② C、②③ D、③④

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二、多选题

9. 已知复数 $z = a + \sqrt{3} i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，且 $| z | = 2$ 则下列结论正确的是（）．

A、 $z^{3} = 8$ B、z的虚部为 $\sqrt{3}$ C、z的共轭复数为 $1 + \sqrt{3} i$ D、 $z^{2} = 4$

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10. 给出下列四个命题，其中正确的是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0), 2^{x} > 3^{x}$ B、 $\forall x \in Q, \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1 \in Q$ C、 $\exists α, β \in R,$ 使得 $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$ D、 $\exists x, y \in Z$ ，使得 $x - 2 y = 10$

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11. 已知集合 $M = {m | m = i^{n}, n \in N}$ ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）

A、 $(1 - i) (1 + i)$ B、 $\frac{1 - i}{1 + i}$ C、 $\frac{1 + i}{1 - i}$ D、 ${(1 - i)}^{2}$

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12. 已知下列命题：
$p_{1} : \exists x > 0$ ，使 $\lg (x^{2} + \frac{1}{4}) \leq \lg x$ ；

$p_{2} :$ 若 $\sin x \neq 0$ ，则 $\sin x + \frac{1}{\sin x} \geq 2$ 恒成立；

$p_{3} : x + y = 0$ 的充要条件是 $\frac{x}{y} = - 1$ .

下列命题中为假命题的是（）

A、 $p_{1} \land p_{2}$ B、 $(\neg p_{1}) \land p_{2}$ C、 $p_{1} \lor (\neg p_{2})$ D、 $p_{2} \lor p_{3}$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x²+y²≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x₁+x₂ ， y＝y₁+y₂ ，（x₁ ， y₁）∈A，（x₂ ， y₂）∈B}所表示的区域的面积为．

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14. 命题 $p : \exists x_{0} \in [- 1, 1]$ ， $x_{0}^{2} + m - 1 \leq 0$ 为真命题，则实数m的取值范围是.

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15. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} |=| z_{2} |= 2$ ， $z_{1} + z_{2} = \sqrt{3} + i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} |$ =.

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16. 下列命题（ $i$ 为虚数单位）中：①已知 $a, b \in R$ 且 $a = b$ ，则 $(a - b) + (a + b) i$ 为纯虚数；②当 $z$ 是非零实数时， $| z + \frac{1}{z} | \geq 2$ 恒成立；③复数 $z = {(1 - i)}^{3}$ 的实部和虚部都是－2；④如果 $| a + 2 i | < | - 2 + i |$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $- 1 < a < 1$ ；⑤复数 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{1}{z} + z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ ；其中正确的命题的序号是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 3 \leq x < 6}$ ， $B = {x | 2 < x < 9}$ ．

(1)、求 $∁_{R} (A \cap B)$ ， $(∁_{R} B) \cup A$ ；

(2)、已知 $C = {x ∣ a < x < a + 1}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值集合．

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18. 已知集合 $A = {x | y = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}}$ ， $B = {y | y = 3^{x - 1}} .$

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $M = {x | m x + 4 < 0}$ 且 $(A \cap B) \subseteq M$ ，求实数m的取值范围．

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19. 设命题p：实数x满足 $x^{2} - (2 a + 1) x + 2 a \leq 0$ ，其中 $a > 0$ ，命题q：实数x满足 $| x - 3 | < 2$ .

(1)、若 $a = 1$ ，且 $p \land q$ 为真，求实数x的取值范围.

(2)、若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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20. 已知集合 $A = {x | (x - 2) (x - 3) \leq 0}$ ， $B = {x | a < x < 3 a$ ，且 $a > 0}$ ．

(1)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)、若命题“ $A \cap B \neq \emptyset$ ”为假命题，求实数a的取值范围

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21. 已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (m - 1) i$ (i为虚数单位).

(1)、若z是纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、在复平面内，若z所对应的点在直线 $y = 2 x + 1$ 的上方，求实数m的取值范围.

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22. 已知i是虚数单位，复数 $z = \frac{{(1 - i)}^{3} {(1 + 2 i)}^{2}}{3 - 4 i}$ 满足方程 $| z |^{2} + \bar{z} - z = a + b i$ ( $a, b \in R$ )，求实数a､b的值.

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2021年高考数学尖子生培优 专题01 集合与逻辑、复数

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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