浙江省湖州市、衢州市、丽水市2020-2021学年高三上学期数学11月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-01-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | x > - 1}$ ， $Q = {x | x < 5}$ ，则 $P \cup Q =$ （）

A、 $(- \infty, + \infty)$ B、 ${x | x < 5}$ C、 ${x | - 1 < x < 5}$ D、 ${x | x > - 1}$

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2. 已知 $a \in R$ ，若复数 $z = (a^{2} - a) + a i$ （ $i$ 是虚数单位）是纯虚数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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3. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ （）

A、有最小值1，无最大值 B、有最小值-1，无最大值 C、有最大值-2，无最小值 D、有最大值-1，无最小值

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4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $\frac{8}{3}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $f (0) = 0$ ”是“ $f (x)$ 是奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. $m$ ， $n$ 是空间两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$

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7. 已知函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知双曲线 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 在第一象限的交点为 $P$ ，若原点到直线 $l$ 的距离为 $a$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{3}}{3}}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\sqrt{\frac{7 + 2 \sqrt{3}}{3}}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，前 $n$ 项的积是 $T_{n}$ .
①若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 是等差数列；②若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 是等比数列；③若 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列，则 ${a_{n}}$ 是等差数列；④若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 ${{(T_{n})}^{\frac{2}{n}}}$ 是等比数列.其中正确命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 已知空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两的夹角均为 $60^{\circ}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 2$ .若向量 $\vec{x}, \vec{y}$ 满足 $\vec{x} \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = \vec{x} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{y} \cdot (\vec{y} + \vec{a}) = \vec{y} \cdot \vec{c}$ ，则 $| \vec{x} - \vec{y} |$ 的最大值是（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

11. 古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为 $1 ， 3 ， 6 ， 10 ， \dots$ 的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第 $n$ 个“三角形数”是 $\frac{n (n + 1)}{2}$ ，则第5个“三角形数”是，前6个“三角形数”的和是.

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12. 已知 ${(1 - 2 x)}^{n}$ 展开式中第三项的二项式系数是 $10$ ，则 $n =$ ，展开式中最大的系数是.

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13. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{3})$ $(ω > 0)$ 的最小正周期是 $π$ ，则 $ω =$ ，单调递增区间是.

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14. 已知直线 $l : y = 2 x + b$ $(b \neq 0)$ 被圆 $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ 所截得的弦长为4，且与圆心为 $(2, - 1)$ 的圆 $C_{2}$ 相切，则 $b =$ ；圆 $C_{2}$ 的半径长是.

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15. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为 $2$ ，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，若 $E ， F$ 分别是线段 $B B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C F$ 所成角的余弦值是.

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16. 一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，记取出的球的颜色有 $ξ$ 种，则 $E (ξ) =$ .

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17. 若实数 $x, y$ 满足 $(2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1}) (y + \sqrt{y^{2} + 1}) = 4$ ，则 $x + y$ 的最小值是.

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三、解答题

18. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c \sin (A + \frac{π}{6})$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $\sin B \cdot \cos C$ 的取值范围.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $P A = A D = P D = 2$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $A B$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、当 $A P ⊥ B D$ 时，求直线 $P C$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} + S_{n} = a_{n + 1}^{2} (n \in N *)$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值，并写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n}}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $2 \sqrt{n} - \frac{3}{2} < T_{n} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ $(n \in N *)$ .

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21. 已知椭圆 $T ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，抛物线 $M ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点是 $F$ ，且动点 $G (- 1 ， t)$ 在其准线上.

(1)、当点 $G$ 在椭圆 $T$ 上时，求 $| G F |$ 的值；

(2)、如图，过点 $G$ 的直线 $l_{1}$ 与椭圆 $T$ 交于 $P ， Q$ 两点，与抛物线 $M$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $G$ 是线段 $P Q$ 的中点，过点 $F$ 的直线 $l_{2}$ 交抛物线 $M$ 于 $C ， D$ 两点.若 $A C / / B D$ ，求 $l_{2}$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ， $g (x) = a x^{2}$ （ $a \in R$ ）.

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、当 $a \in (t ， + \infty)$ 时，函数 $F (x) = f (x) - g (x) + 2$ 有三个不同的零点，求实数 $t$ 的最小值；

(3)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $(f (x) + x) \ln (x + 1) \geq g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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