广东省广州市2021届高三上学期数学阶段训练试卷

试卷更新日期：2021-01-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | x \leq 1}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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2. 已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $| z^{2} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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3. 设 ${a_{n}}$ 是公差为正数的等差数列，若 $a_{2} = 5$ ， $a_{1} a_{3} = 16$ ，则 $a_{12} =$ （）

A、12 B、35 C、75 D、90

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4. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：”今有牛､马､羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主日：“我羊食半马.”马主日：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？”翻译过来就是：现有牛､马､羊吃了人家的田里的青苗，青苗主人要求三畜的主人一共赔偿粟米5斗.羊主人说；“我的羊所吃数是马的一半.”马主人说；“我的马所吃数是牛的一半.”现在按照三畜所吃青苗数的比例进行分配赔偿，问牛､马､羊的主人赔偿粟米斗数分别为（）

A、 $\frac{20}{7} ， \frac{10}{7} ， \frac{5}{7}$ B、 $\frac{5}{7} ， \frac{10}{7} ， \frac{20}{7}$ C、 $\frac{20}{7} ， \frac{5}{7} ， \frac{10}{7}$ D、 $\frac{10}{7} ， \frac{5}{7} ， \frac{20}{7}$

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5. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f (x) - g (x) = x^{3} + x^{2} + a$ ，则 $g (2) =$ （）

A、-4 B、4 C、-8 D、8

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6. 某学校鼓励学生参加社区服务，学生甲2019年每月参加社区服务的时长（单位：小时）分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{12}$ ，其均值和方差分别为 $\bar{x}$ 和 $s^{2}$ ，若2020年甲每月参加社区服务的时长增加1小时，则2020年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为（）

A、 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ B、 $1 + \bar{x}$ ， $1 + s^{2}$ C、 $\bar{x}$ ， $1 + s^{2}$ D、 $1 + \bar{x}$ ， $s^{2}$

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7. ${(a x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为160，则 $a$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = C C_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = 1$ ，点 $M$ 在正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内， $C_{1} M ⊥$ 平面 $A_{1} C M$ ，则三棱锥 $M - A_{1} C C_{1}$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{11}{2} π$ B、 $7 π$ C、 $11 π$ D、 $14 π$

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二、多选题

9. 以下四个命题中，真命题的是（）

A、若 $p \lor q$ 为真命题，则 $p$ ， $q$ 均为真命题 B、“ $x > 2$ ”是“ $\lg (3 - x) < 0$ ”的必要不充分条件 C、若命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ ，则 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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10. 已知P是双曲线C： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 右支上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是C的左，右焦点，O为坐标原点， $| \vec{O P} + \vec{O F_{1}} | = \frac{9}{4}$ 则（）

A、C的离心率为 $\frac{5}{4}$ B、C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、点P到C的左焦点距离是 $\frac{23}{4}$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{45}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = | \sin x - \cos x | (\sin x + \cos x)$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 是周期函数，且周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 有对称轴 D、函数 $g (x) = f (x) + 1$ 在 $(- π，π)$ 上有且仅有一个零点

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12. 已知直线 $y = - x + 2$ 分别与函数 $y = \frac{1}{2} e^{x}$ 和 $y = \ln (2 x)$ 的图象交于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则（）

A、 $e^{x_{1}} + e^{x_{2}} > 2 e$ B、 $x_{1} x_{2} > \frac{\sqrt{e}}{4}$ C、 $\frac{\ln x_{1}}{x_{1}} + x_{2} \ln x_{2} > 0$ D、 $e^{x_{1}} + \ln (2 x_{2}) > 2$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量．若 $\sqrt{3} \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ 的夹角为60°，则实数λ的值是．

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14. 曲线 $f (x) = x \sin x$ 在点 $(\frac{π}{2}, f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程为．

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15. 广东省2021年的新高考按照“ $3 + 1 + 2$ ”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为．

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆交 $y$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点，设线段 $A B$ 的中点为 $Q$ ，若点 $F$ 到 $C$ 的准线的距离为3，则 $\sin ∠ Q M N$ 的值为．

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四、解答题

17. 在① $a \cos B = b \sin A$ ，② $b^{2} + \sqrt{2} a c = a^{2} + c^{2}$ ，③ $\sin B + \cos B = \sqrt{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为2， $a = 2$ ，求 $b$ ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}$ ，数列 ${\log_{3} b_{n}}$ 是公差为 $- 1$ 的等差数列， $b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{2 n + 1} + b_{2 n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现随机抽取年级120名学生的成绩，统计结果如下所示：

等级	优秀	良好	要加油
得分	$[120, 150]$	$[90, 120)$	$[0, 90)$
频数	12	72	36

附表及公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

P（ $K^{2} \geq k_{0}$ ）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

(1)、若测试分数90分及以上认定为优良．分数段在

[120, 150]

，

[90, 120)

，

[0, 90)

内女生的人数分别为4人，40人，20人，完成下面的

2 \times 2

列联表，并判断：是否有

95 ％

以上的把握认为性别与数学成绩优良有关？

是否优良性别	优良	非优良	总计
男生
女生
总计

(2)、用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10人进行座谈，现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和记为

X

，求

X

的分布列及数学期望

E (X)

．

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20. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $G$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点.

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $B E D$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ， $A E ⊥ E C$ ，求直线 $E G$ 与平面 $E D C$ 所成角的正弦值.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2}),$ 且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆C的右焦点F的直线l(与x轴不重合)与椭圆C交于M，N两点.是否存在一定点E(t，0)，使得x轴上的任意一点(异于点E，F)到直线EM，EN的距离相等？若存在，求出t的值：若不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - a x + a - 1$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) > a \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求整数 $a$ 的最大值．

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