广东省湛江区2020-2021学年高一上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2021-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列各组对象不能构成集合的是（）

A、大于1且小于10的实数 B、欧洲的所有国家 C、广东省的省会城市 D、早起的人

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2. “ $2 < x < 5$ ”是“ $3 < x < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下图中可以表示以x为自变量的函数图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > b$ ，则 $a > c$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$

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5. 若函数 $f (x) = x^{2} + (m + 1) x + 3$ 在区间 $(3, 5)$ 内存在最小值，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(5, 9)$ B、 $(- 11, - 7)$ C、 $[5, 9]$ D、 $[- 11, - 7]$

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6. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2 x^{2} - 7 x + 3 < 0}$ ， $B = {y | y = x + \frac{1}{x}, x > 0}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、 $(- \infty, + \infty)$

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7. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (4) = 0$ ，则不等式 $(x + 1) f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4, - 1) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4) \cup (- 1, 4)$ C、 $(- 4, - 1) \cup (- 1, 4)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$

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8. 关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为(-3，1)，则关于x的不等式cx²+bx+a＞0的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, 1)$ B、 $(- 1, \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1, x < 0, \\ x^{2} + x, x \geq 0, \end{array}$ ， $g (x) = x^{2} - 7$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是增函数 B、 $g (x)$ 是偶函数 C、 $f (f (1)) = 3$ D、 $f (g (1)) = - 7$

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10. 下列结论不正确的是（）

A、“ $x \in N$ ”是“ $x \in Q$ ”的充分不必要条件 B、“ $\exists x \in N^{*}$ ， $x^{2} - 3 < 0$ ”是假命题 C、 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则“ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 是直角三角形”的充要条件 D、命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 3 > 0$ ”的否定是“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 3 \leq 0$ ”

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11. 已知实数x，y满足-1≤x+y≤3，4≤2x-y≤9，则（）

A、1≤x≤4 B、-2≤y≤1 C、2≤4x+y≤15 D、 $\frac{1}{3} \leq x - y \leq \frac{23}{3}$

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12. 若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若 ${x, y} \subseteq A$ ，则xy， $x + y \in A$ ，且当 $x \neq 0$ 时， $\frac{y}{x} \in A$ ，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（）

A、整数集是“紧密集合” B、实数集是“紧密集合” C、“紧密集合”可以是有限集 D、若集合A是“紧密集合”，且x， $y \in A$ ，则 $x - y \in A$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {\sqrt{a} + 1, - 2}$ ， $B = {b, 2}$ ，若 $A = B$ ，则 $a + b =$ .

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14. 已知函数 $f (2 x - 1) = 3 x - 5$ ，若 $f (x_{0}) = 4$ ，则 $x_{0} =$ .

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15. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则不等式 $x^{m} + m x - 3 < 0$ 的解集是．

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16. 已知实数 $a > - 1$ ， $b > 0$ ，且 $3 a - a b + 3 = 0$ ，则 $a + 3 b$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在①一次函数 $y = a x + b$ 的图象过 $A (0, 3)$ ， $B (2, 7)$ 两点，②关于 $x$ 的不等式 $1 < a x + b \leq 3$ 的解集为 ${x | 3 < x \leq 4}$ ，③ ${1, a} \subseteq {a^{2} - 2 a + 2, a - 1, 0}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知__________，求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x - a > 0$ 的解集.

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18. 集合A＝{x|x²-ax+a²-13＝0}，B＝{x|x²-7x+12＝0}，C＝{x|x²-4x+3＝0}.

(1)、若A∩B＝B∩C，求a的值；

(2)、若A∩B＝∅，A∩C≠∅，求a的值.

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19.

(1)、已知函数 $y = f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[- 5, 7]$ ，求函数 $y = \frac{f (x - 5)}{\sqrt{x^{2} - 3 x - 10}}$ 的定义域；

(2)、已知 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $g (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 1$ ，求 $g (x)$ 的解析式．

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20. 某商品的日销售量 $y$ （单位：千克）是销售单价 $x$ （单位：元）的一次函数，且单价越高，销量越低．把销量为0时的单价称为无效价格．已知该商品的无效价格为150元，该商品的成本价是50元/千克，店主以高于成本价的价格出售该商品．

(1)、若店主要获取该商品最大的日利润，则该商品的单价应定为多少元？

(2)、通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，如果店主要获得该商品最大日利润的64%，则该商品的单价应定为多少元？

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21. 已知正数x，y满足 $x + 2 y = 3$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为k．

(1)、求k．

(2)、若a，b，c为正数，且 $a + b + c = k$ ，证明： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} + 3 \geq 2 k$ ．

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22. 已知a＞0，函数f(x)＝x²-ax+3， $g (x) = \frac{x}{a} + \frac{a}{x}$ .

(1)、求f(x)在[1，3]上的最小值h(a)；

(2)、若对于任意x₁∈[1，3]，总存在x₂∈[1，3]，使得f(x₁)＞g(x₂)成立，求a的取值范围.

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