山东省日照市五莲县2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | 0 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若实数 $2$ 是不等式 $3 x - a - 4 < 0$ 的一个解，则 $a$ 可取的最小正整数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 2 x - 1}$ 的值域是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $[4, + \infty)$

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5. 某工厂过去的年产量为 $a$ ，技术革新后，第一年的年产量增长率为 $p (p > 0)$ ，第二年的年产量增长率为 $q (q > 0, p \neq q)$ ，这两年的年产量平均增长率为 $x$ ，则（）

A、 $x = \frac{p + q}{2}$ B、 $x = \sqrt{p q}$ C、 $x > \frac{p + q}{2}$ D、 $x < \frac{p + q}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = a - x^{2} (1 \leq x \leq 2)$ 与 $g (x) = 2 x + 1$ 的图象上存在关于 $x$ 轴对称的点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, - 1]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[1, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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7. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，若 $f (8) = 3$ ，则 $f (\sqrt{2})$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - x - 1$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知集合 $M = {x \in Z | - 3 < x < 3}$ ，则下列符号语言表述正确的是（）

A、 $2 \in M$ B、 $0 \subseteq M$ C、 ${0} \in M$ D、 ${0} \subseteq M$

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10. 一元二次方程 $a x^{2} + 4 x + 3 = 0 (a \neq 0)$ 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）

A、 $a < 0$ B、 $a < - 2$ C、 $a < - 1$ D、 $a < 1$

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11. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$ B、 $\frac{1}{a b} \geq \frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{a b} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 1$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (1 - x) = - f (1 + x)$ ， $f (0) = 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (2) = 1$ C、 $f (3) = 0$ D、 $f (4) = 1$

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三、填空题

13. 计算 $($ $\frac{27}{8}$ $)^{\frac{2}{3}}$ = ．

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14. 设关于 $x$ 的函数 $y = (k - 2) x + 1$ 是 $R$ 上的增函数，则实数 $k$ 的取值范围是．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - | x | + a - 1$ 有四个零点，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知 $5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1$ $(x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + 2 y^{2}$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | 2 m < x < 1 - m}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义加以证明.

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19. 已知一次函数 $f (x)$ 满足 $2 f (2) - 3 f (1) = 5$ ， $2 f (0) - f (- 1) = 1$ ．

(1)、求这个函数的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x^{2}$ ，求函数 $g (x)$ 的零点．

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20. 若不等式 $(1 - a) x^{2} - 4 x + 6 > 0$ 的解集为 ${x | - 3 < x < 1}$ ．

(1)、解不等式 $2 x^{2} + (2 - a) x - a > 0$ ；

(2)、 $a x^{2} + b x + 3 > 0$ 的解集为 $R$ ，求 $b$ 取值范围，

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21. 如图，某渠道的截面是一个等腰梯形，上底 $A D$ 长为一腰和下底长之和，且两腰 $A B$ ， $C D$ 与上底 $A D$ 之和为 $8$ 米．设腰长为 $x$ 米．

(1)、将渠道的截面面积 $S$ 表示为腰长 $x$ 的函数关系式；

(2)、试问：等腰梯形的腰与上、下底长各为多少米时，截面面积最大？并求出截面面积的 $S$ 最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{6}{a^{x + 1} + a}$ $(a > 0, a \neq 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若不等式 $t f (x) \geq 3^{x} - 3$ 在 $x \in [1, 2]$ 上恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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