山东省青岛胶州市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{| x | - 5}$ 的定义域为集合 $A$ ，则 $A =$ （）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $(5, + \infty)$ C、 $[4, 5)$ D、 $[4, 5) \cup (5, + \infty)$

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2. 下列函数中与函数 $y = x^{2}$ 是同一函数的是（）

A、 $u = v^{2}$ B、 $y = x \cdot | x |$ C、 $y = \frac{x^{3}}{x}$ D、 $y = {(\sqrt{x})}^{4}$

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3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ $=$ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ $<$ ”和“ $>$ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 $a > b > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a + m < b + m$ C、 $a^{\frac{1}{2}} > b^{\frac{1}{2}}$ D、 $2^{a} < 2^{b}$

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4. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间 $t$ （单位：天）与病情爆发系数 $f (t)$ 之间，满足函数模型： $f (t) = \frac{1}{1 + e^{- 0.22 (t - 50)}}$ ，当 $f (t) = 0.1$ 时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时 $t$ 约为（）
(参考数据： $e^{1.1} \approx 3$ )

A、38 B、40 C、45 D、47

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5. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + 1 = 0 (a \in R)$ 有两个正根 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $a$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x \geq 0 \\ x + a, x < 0 \end{array}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[0, 1)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 1)$

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7. 已知 $a = 2^{0.1}$ ， $b = {0.3}^{3}$ ， $c = 0.3 {}^{0.1}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递减，若 $f (1) = - 2$ ，则满足 $f (x - 1) \leq 2$ 的 $x$ 的取值区间是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“对任意一个无理数 $x$ ， $x^{2}$ 也是无理数”是真命题 B、“ $x y > 0$ ”是“ $x + y > 0$ ”的充要条件 C、命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 1 = 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R, x^{2} + 1 \neq 0$ ” D、若“ $1 < x < 3$ ”的必要不充分条件是“ $m - 2 < x < m + 2$ ”，则实数 $m$ 的取值范围是 $[1, 3]$

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10. “双 $11$ ”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；（3）如果购物总额超过100元但不超过 $300$ 元，则按标价给予9折优惠；（4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）

A、如果购物总额为78元，则应付款为73元 B、如果购物总额为228元，则应付款为205.2元 C、如果购物总额为368元，则应付款为294.4元 D、如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元

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11. 下列函数是偶函数且在 $(0, + \infty)$ 上具有单调性的函数是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = x^{2}, x \in R$ C、 $f (x) = 1 - | x |, x \in R$ D、 $f (x) = {\begin{matrix} 1, 当 x 为有理数时 \\ 0, 当 x 为无理数时 \end{matrix}$

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12. 若 $a, b \in (0, + \infty)$ ，则下列选项成立的是（）

A、 $a (6 - a) \leq 9$ B、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ C、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为 $1$ D、若 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq \frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {1, 2, 3}, B \subseteq A, 1 \in B$ ，则集合 $B$ 的个数为个.

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 6 x - 8 > 0$ 的解集为 $(2, 4)$ ，则 $a =$ .

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15. $2^{\frac{3}{2}} \times \sqrt{2} \times 2^{^{- 3}} =$ .

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四、双空题

16. 一位少年能将圆周率 $π$ 准确记忆到小数点后面 $200$ 位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.记圆周率 $π$ 小数点后第 $n$ 位上的数字为 $y$ ，则 $y$ 是 $n$ 的函数，设 $y = f (n)$ ， $n \in N^{*}$ .则

(1)、 $y = f (n)$ 的值域为；

(2)、函数 $y = f (n)$ 与函数 $y = n^{3}$ 的交点有个.

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五、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x \in R | - 3 \leq 2 x - 3 \leq 1}$ ，集合 $B = {x \in R | \frac{1}{4} \leq 2^{x} < 2}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(3)、设集合 $C = {x | a \leq x \leq 2^{a}}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ ，当 $x \in (0, 2)$ 时，函数 $f (x) = \frac{a}{x} - \frac{1}{x - 2}$ .

(1)、若 $a = 0$ ，利用定义研究 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 上的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 是偶函数，求 $f (x)$ 的解析式.

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19. 某地区上年度电价为0.8元/（ $kW \cdot h$ ），年用电量为 $a kW \cdot h$ ，本年度计划将电价下降到区间 $[0.55, 0.75]$ （单位：元/（ $kW \cdot h$ ）内，而用户期望电价为0.4元/（ $kW \cdot h$ ）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 $k$ ）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（ $kW \cdot h$ ）.

(1)、写出本年度电价下调后电力部门的利润 $y$ （单位：元）关于实际电价 $x$ （单位，元/ $(kW \cdot h)$ ）的函数解析式；

(2)、设 $k = 0.2 a$ ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - a - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值区间；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} - 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 是奇函数， $a \in R$ .

(1)、求 $a$ 的值，并求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > \frac{3}{5}$ 的解集；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 图象的对称中心.

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22. 已知函数 $h (x) = x + \frac{1}{x}$ .

(1)、直接写出 $h (x)$ 在 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的单调区间（无需证明）；

(2)、求 $h (x)$ 在 $[\frac{1}{2}, a] (a > \frac{1}{2})$ 上的最大值；

(3)、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，若存在区间 $A \subseteq I$ ，满足： $\forall x_{1} \in A$ ， $\exists x_{2} \in ∁_{I} A$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则称区间 $A$ 为 $f (x)$ 的“ $Γ$ 区间”.已知 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ （ $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ），若 $A = [\frac{1}{2}, b)$ 是函数 $f (x)$ 的“ $Γ$ 区间”，求实数 $b$ 的最大值.

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