山东省济宁市兖州区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ， A = {2, 3, 4, 5} ， B = {2, 3, 6, 7}$ ，则 $B \cap C_{U} A$ （）

A、 ${1, 6}$ B、 ${1, 7}$ C、 ${6, 7}$ D、 ${1, 6, 7}$

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2. 命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 2 > 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2 > 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

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3. 下列各组函数中，两个函数相同的是（）

A、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = {(\sqrt{x - 1})}^{2}$ B、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ C、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ ， $g (x) = x + 2$

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4. 不等式 $3 + 5 x - 2 x^{2} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{2}, 3)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (3, + \infty)$

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5. 设 $a = 3^{0}^{． 5}$ ， $b = {0.5}^{3}$ ， $c = \log_{3} 0.5$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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6. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 1 | ， x \leq 0 ， \\ \ln x + 1 ， x > 0 ， \end{array}$ 若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 恰有三个不同的实数解 $a$ ， $b$ ， $c (a < b < c)$ ，则 $(a + b) c$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， \frac{5}{2}]$ B、 $[- 2 ， - \frac{2}{e})$ C、 $(2 ， \frac{5}{2}]$ D、 $(2 ， \frac{5}{2})$

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二、多选题

9. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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10. 下列命题为真命题的是（）

A、已知幂函数 $f (x) = k x^{a}$ 的图象过点 $(2 ， 4)$ ，则 $k + a = 3$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ C、函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 过定点 $(1 ， 2)$ D、 $x > 1$ 时， $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为2

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11. 如图所示是函数 $y = f (x)$ 的图象，图中 $x$ 正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 4 ， 4)$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ C、此函数在定义域内是增函数 D、对于任意的 $y \in (5 ， + \infty)$ ，都有唯一的自变量 $x$ 与之对应

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12. 已知定义在R上函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty, 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ， $x \in (- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \geq M$

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三、填空题

13. 函数 $y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ 的值域是.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x}, x \leq 1 \\ \log_{a} x, x > 1 \end{array}$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )，若 $f (1) = 2$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ .

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15. 2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有 $N_{0}$ 只，则经过天能达到最初的16000倍（参考数据： $\ln 1.05 \approx 0.0488, \ln 1.5 \approx 0.4055, \ln 1600 \approx 7.3778$ ， $\ln 16000 \approx 9.6803$ .

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16. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a b = 4$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 2)}^{0} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2}$

(2)、 $\log_{6} 4 + \log_{6} 3 \cdot \log_{6} 12 + {(\log_{6} 3)}^{2}$

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18. 设全集 $U = R$ ，函数 $f (x) = \sqrt{x - a} + \lg (a + 3 - x)$ 的定义域为集合 $A$ ，集合 $B = {x | \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 32}$ ，命题 $p$ ：若________时，则 $A \cap B \neq ϕ$ ，从① $a = - 5$ ，② $a = - 3$ ，③ $a = 2$ 这三个条件中选择一个条件补充到上面命题 $p$ 中，使命题 $p$ 为真，说明理由；并求 $A \cap (C_{U} B)$ .

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19. 已知定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是增函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (t - 1) + f (2 t) < 0$ .

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20. 为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度( $km/h$ )值的2倍.(说明：运输的总费用 $=$ 运费 $+$ 装卸费 $+$ 损耗费)

(1)、为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；

(2)、若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？

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21. 在直角坐标系xOy中，记函数 $f (x) = \log_{3} (8 - 2^{x})$ 的图象为曲线C₁ ，函数 $g (x) = \sqrt{x - 3}$ 的图象为曲线C₂ ．
（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；

（Ⅱ）当曲线C₁在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；

（Ⅲ）证明：曲线C₁和C₂没有交点．

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22. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 3^{x} + 1}{3^{x + 1} + 3}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性；

(3)、若不等式 $f (3^{x} - 1) + f (k \cdot 3^{x + 1} + 3 k) > 0$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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