河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-01-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | | x | \leq 1, x \in R},$ $B = {y | y = x^{2}, x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | x \geq 0}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如下图所示，则函数 $y = f (| x |)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列四组函数中 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x, g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = 2 l g x, g (x) = l g x^{2}$ C、 $f (x) = | x |, g (x) = {\begin{matrix} x (x \geq 0) \\ - x (x < 0) \end{matrix}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}, g (x) = x^{\frac{1}{2}}$

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4. 函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 1}$ 是幂函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m$ 为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-1或2

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5. 已知 $f (x)$ 是一次函数， $2 f (2) - 3 f (1) = 5, 2 f (0) - f (- 1) = 1$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 3 x + 2$ B、 $f (x) = 3 x - 2$ C、 $f (x) = 2 x + 3$ D、 $f (x) = 2 x - 3$

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6. 若函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $\frac{1}{e} < a < 1$ C、 $\frac{1}{e} - 1 < a < 1$ D、 $\frac{1}{e} + 1 < a < 1$

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7. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {log}_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称，且 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty, 2]$ ，且 $(x_{1} \neq x_{2})$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，且 $f (4) = 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 4)$ C、 $(0, 2) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 2) \cup (2, 4)$

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9. 若函数 $f (x) = \log_{3} (x^{2} + a x + a + 5)$ ， $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1)$ 上是递减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 3, - 2]$ B、 $[- 3, - 2)$ C、 $(- \infty, - 2]$ D、 $(- \infty, - 2)$

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10. 设方程 $5- x = | \lg x |$ 的两个根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} x_{2} < 0$ B、 $x_{1} x_{2} = 1$ C、 $x_{1} x_{2} > 1$ D、 $0 < x_{1} x_{2} < 1$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 3) x + 3 a, x < 1 \\ \log_{a} x, x \geq 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，那么 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{4}, 1)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 3)$

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12. 已知 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $f (x) = x^{2} - a^{x}$ ，当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时，均有 $f (x) < \frac{1}{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}] \cup [2 ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1) \cup (1 ， 2]$ C、 $(0 ， \frac{1}{4}] \cup [4 ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{4} ， 1) \cup (1 ， 4]$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = 2 x + \sqrt{x + 1}$ 的最小值为.

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14. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6^－x ，则f(919)＝.

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15. 若函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{a x^{2} + a x + 1}}$ 的定义域为R，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} (x - 1) |, 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2} x + 10, x > 3 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有4个不同的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) (x_{3} + x_{4}) =$

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三、解答题

17. 化简下列各式：

(1)、 ${[{({0.064}^{\frac{1}{5}})}^{- 2.5}]}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} - π^{0}$ ；

(2)、 $\frac{2 \lg 2 + \lg 3}{1 + \frac{1}{2} \cdot \lg 0.36 + \frac{1}{4} \lg 16}$

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18. 已知集合 $P = {x | - 2 \leq x \leq 10}$ ， $Q = {x | 1 - m \leq x \leq 1 + m}$ .

(1)、若 $P \subseteq Q$ ，求实数m的取值范围；

(2)、若 $P \cap Q = Q$ ，求实数m的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

(1)、求出函数 $f (x)$ 在R上的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并根据图象写出 $f (x)$ 的单调区间．

(3)、求使 $f (x) = 1$ 时的 $x$ 的值．

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20. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 $P (x)$ （元）与时间 $x$ （天）的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为正常数）.该商品的日销售量 $Q (x)$ （个）与时间 $x$ （天）部分数据如下表所示：

$x$ （天）

10

20

25

30

$Q (x)$ （个）

110

120

125

120

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

（I）求 $k$ 的值;

（II）给出以下二种函数模型：

① $Q (x) = a x + b$ ，② $Q (x) = a | x - 25 | + b$ ，

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的关系，并求出该函数的解析式;

（III）求该商品的日销售收入 $f (x) (1 \leq x \leq 30, x \in N^{+})$ （元）的最小值.

（函数 $f (x) = x + \frac{k}{x} (x > 0, k > 0)$ ，在区间 $(0, \sqrt{k})$ 上单调递减，在区间 $(\sqrt{k}, + \infty)$ 上单调递增.性质直接应用.）

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21. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 2^{x} + 3$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 4$ 时，且 $x \in [0 ， 2]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个不同实根，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - a x + a^{2} - 4$ ， $g (x) = x^{2} - x + a^{2} - 8$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若对任意 $x > 0$ ，都有 $f (x) > g (x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [0, 1]$ ，任意 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使得不等式 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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$x$ （天）	10	20	25	30
$Q (x)$ （个）	110	120	125	120