河南省开封市2020-2021学年高一上学期数学五县联考期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | x + y = 2}$ ， $B = {(x, y) | x - y = 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${(- 1, - 1)}$ B、 ${(1, - 1)}$ C、 ${(- 1, 1)}$ D、 ${(1, 1)}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - \ln x}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， e]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(0 ， e]$ D、 $[e ， + \infty)$

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3. 已知 $f (x - 1) = x^{2} + 1$ ，则 $f (5) =$ （）

A、37 B、35 C、26 D、29

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4. 函数 $f (x) = a^{x - 1} - 3 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象所过定点的坐标为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(1, 2)$

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5. 函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 2 x + 3)$ 的值域为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $R$ D、 $[2, + \infty)$

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6. 已知 $a = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{\frac{2}{3}}$ ， $b = {(\frac{4}{5})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \ln 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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7. 若 $f (x) = x + 2^{x} + a$ 的零点所在的区间为 $(- 2, 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, \frac{3}{4})$ B、 $(- 3, \frac{7}{4})$ C、 $(- 1, - \frac{1}{2})$ D、 $(0, \frac{5}{4})$

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8. 已知正数 $x$ 满足 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，则 $x^{2} + x^{- 2} =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9. 已知 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ， $B = {x | a x = 1}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 取值的集合为（）

A、 ${0, 1, \frac{1}{2}}$ B、 ${1, \frac{1}{2}}$ C、 ${0, 2, \frac{1}{2}}$ D、 ${- 2, \frac{1}{2}}$

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10. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x^{2} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值与最小值的差为1，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{4}$ 或4 D、 $\frac{1}{2}$ 或2

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ - \ln (- x), x < 0 \end{array}$ ，若 $f (m) + 2 f (- m) > 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - e) \cup (0, e)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} (1 - \frac{2}{2^{x} + 1})$ ，若对任意的 $m \in [- 3, 3]$ ，都有 $f (m a) + f (a - m + 1) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}] \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2}, 2]$ D、 $[1, 2]$

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二、填空题

13. 已知 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ，则 $f (f (2)) =$ .

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14. 已知集合 $A = {x | x^{2} - a x + 3 a \leq 0}$ ，若 $- 1 \notin A$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. 某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为 $y_{1} = 5 x - \frac{1}{4} x^{2}$ ， $y_{2} = 3 x$ ，其中 $x$ 为销售量（单位：吨）．若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为万元.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x^{2} - 2 x | ， x \leq 3 \\ 6 - x ， x > 3 \end{array}$ ，若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $e$ $(a < b < c < d < e)$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c) = f (d) = f (e)$ ，则 $M = a f (a) + b f (b) + c f (c) + d f (d) + e f (e)$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 化简求值：

(1)、 $A = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + a^{\frac{1}{2}} (b^{\frac{1}{2}} - 1) - b^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}} - 1)$ ，其中 $a$ ､ $b$ 为正数；

(2)、 $B = \lg 400 - \lg 2 + \lg 5 + \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 2$ .

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18. 已知集合 $A = {x | x - a < a - 2}$ ， $B = {y | y = x^{2} - 2 x + a}$ .

(1)、若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $∁_{R} A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = | x | (x - 4)$ .

(1)、请在平面直角坐标系中，画出函数 $f (x)$ 的草图；

(2)、写出函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f (t) = - 3$ ，请根据函数 $f (x)$ 的草图，写出实数 $t$ 的值.

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20. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{2 m - 2}$ ，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $f (3 - 2^{t + 1}) > f (2^{t})$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、证明：函数 $f (x)$ 在定义域上单调递减.

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22. 已知函数 $f (x) = 9^{x} - 1$ ， $g (x) = a | 3^{x} - 1 |$ .

(1)、若函数 $h (x) = | f (x) | - g (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in R$ 时，不等式 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时，求函数 $φ (x) = | f (x) | + g (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最值.

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