人教A版（2019）高中数学2020-2021学年高一上学期期末复习卷一

试卷更新日期：2021-01-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若函数f（x）=x³+x²-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）

f（1）=-2

f（1.5）=0.625

f（1.25）=-0.984

f（1.375）=-0.260

f（1.438）=0.165

f（1.4065）=-0.052

A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5

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2. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) ， f (5) = 0 ，$ 且对任意不等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ 都满足 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0 ，$ 则不等式 $x f (- x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 5 ， 0) \cup (0 ， 5)$ B、 $(- \infty ， - 5) \cup (5 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 5) \cup (0 ， 5)$ D、 $(- 5 ， 0) \cup (5 ， + \infty)$

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3. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (- x^{2} - 2 x + 3)$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ），若 $f (0) < 0 ，$ 则此函数的单调递增区间是（）

A、(－∞，－1) B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、(－3，－1]

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4. 命题“ $\exists x_{0} \leq 0$ ，使得 $x_{0}^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、∀x≤0，x²<0 B、∀x≤0，x²≥0 C、 $\exists x_{0} > 0 ， x_{0}^{2} > 0$ D、 $\exists x_{0} < 0 ， x_{0}^{2} \leq 0$

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5. 已知 $a = 2^{0.4}$ ， $b = 2^{0.6}$ ， $c = \log_{2} \frac{1}{2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜b＜a D、c＜a＜b

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6. 已知关于 $x$ 的方程 $| 2^{x} - m | = 1$ 有两个不等实根，则实数 $m$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $(- \infty$ ， $- 1]$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $[1$ ， $+ \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = \cos x$ 与 $g (x) = \sin (2 x + φ) (0 ⩽ φ < π)$ 的图象有一个横坐标为 $\frac{π}{3}$ 的交点，若函数 $g (x)$ 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍后，得到的函数在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{29}{24} ， \frac{35}{24})$ B、 $[\frac{29}{24} ， \frac{35}{24}]$ C、 $(\frac{29}{24} ， \frac{35}{24})$ D、 $(\frac{29}{24} ， \frac{35}{24}]$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域 $M$ ， $g (x) = \ln (1 + x)$ 的定义域为 $N$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | x < 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 $\emptyset$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的是（）

A、若 $x > 2$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为 $3$ B、若 $m + n = 2$ ，则 $2^{m} + 2^{n}$ 的最小值为 $4$ C、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y + x y = 3$ ，则 $x y$ 的最小值为 $1$ D、若 $x > 1 ， y > 0$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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10. 下列函数中是偶函数的有（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$ D、 $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (0 < ω \leq 3)$ 的图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{8}$ ， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $g (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 是函数 $g (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a < b < 1$ 时，不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集为 $\emptyset$ B、当 $a = 1 ， b = 4$ 时，不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集为 ${x | 0 \leq x \leq 4}$ C、不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集恰好为 ${x | a \leq x \leq b}$ ，那么 $b = \frac{4}{3}$ D、不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集恰好为 ${x | a \leq x \leq b}$ ，那么 $b - a = 4$

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三、填空题

13. 设 $a ， b \in R ，$ 已知关于 $x$ 的不等式 $(a + b) x + (b - 2 a) < 0$ 的解集为 $(1 ， + \infty) ，$ 求不等式 $(a - b) x + 3 b - a > 0$ 的解集为

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14. 已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，则 $\frac{x^{2} + x^{- 2} - 2}{x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} - 3} =$ ．

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15. 对于函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，下列说法正确的是．
①函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ；②函数 $f (x)$ 为偶函数；

③函数 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ ； ④函数 $f (x)$ 在定义域上为增函数；

⑤方程 $f (x) = 3$ 有两个不相等的实数解．

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16. 已知函数 $f (x) = (t - 2) x^{t}$ 是幂函数，则曲线 $y = \log_{t} (x - t) + t$ 恒过定点．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在R上单调递增；

(3)、若 $f (1 - m) + f (2 m + 1) \leq 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a}{e^{x} - a} (e$ 为常数， $e = 2.71828 \dots)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求证：函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若 $a < 0$ ．
①判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

②若存在 $x \in [1$ ， $2]$ ，使得 $f (x^{2} + 2 a x) > f (4 - a^{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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19.

(1)、已知角 $α$ 的终边上有一点 $P (3 ， 4)$ ，求 $\frac{\sin (π - α) - \sin (\frac{3 π}{2} - α)}{\cos (\frac{3 π}{2} + α) + \cos (π - α)}$ 的值.

(2)、已知 $α + β ＝ \frac{π}{6} ， \tan α + \tan β = 2$ ，求 $\cos (α - β)$ 的值.

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20. 某工厂可以生产甲､乙两类产品，设甲､乙两种产品的年利润分别为 $y_{1}$ ､ $y_{2}$ 百万元，根据调查研究发现，年利润与前期投人资金 $x$ 百万元的关系分别为 $y_{1} = m \sqrt{x + 4} + a ， y_{2} = b x$ (其中 $m ， a ， b$ 都为常数)，函数 $y_{1}$ ､ $y_{2}$ 的图象分别是 $C_{1}$ ､ $C_{2}$ ，如图所示，曲线 $C_{1}$ ､ $C_{2}$ 均过点(5，1).

(1)、求函数 $y_{1}$ ､ $y_{2}$ 的解析式；

(2)、若该工厂用于投资生产甲､乙产品共有5百万元资金，问：如何分配资金能使一年的总利润最大，最大总利润是多少万元？

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21. 设函数f（x）=sinx，x $\in$ R。

(1)、已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值

(2)、求函数y=[f（x+ $\frac{π}{12}$ ） ]²+[f（x+ $\frac{π}{4}$ ）]²的值域

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22. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 $x % (0 < x < 100)$ 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
$f (x) = {\begin{cases} 30 ， \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} 0 < x \leq 30 ， \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90 ， \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} 30 < x < 100 \end{cases}$ （单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)、当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)、求该地上班族S的人均通勤时间 $g （ x ）$ 的表达式；讨论 $g （ x ）$ 的单调性，并说明其实际意义。

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f（1）=-2	f（1.5）=0.625
f（1.25）=-0.984	f（1.375）=-0.260
f（1.438）=0.165	f（1.4065）=-0.052