浙江省五湖联盟2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {2, 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B$ 为（）

A、 ${0, 2, 3, 4}$ B、{4} C、 ${1, 2, 4}$ D、 ${0, 2, 4}$

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2. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = 1$ 与 $g (x) = x^{0}$ B、 $f (u) = | u |$ 与 $g (t) = \sqrt{t^{2}}$ C、 $f (t) = t$ 与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$

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3. 下列函数在R上是增函数的是（）

A、y=-x+1 B、 $y = x^{2}$ C、 $y = 3^{x}$ D、 $y = - \frac{1}{x}$

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4. 设 $y_{1} = 2^{1.9}$ ， $y_{2} = 2^{1.5}$ ， $y_{3} = 3^{1.9}$ ，则（）

A、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$

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5. 命题 $p : \exists x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$

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6. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a > b > 1$ ”是“ $\frac{1}{a - 1} < \frac{1}{b - 1}$ ”的（）条件

A、充分而不必要 B、必要而不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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7. 函数 $y = x + a$ 与 $y = a^{x}$ ，其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若正数 $x, y$ 满足 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 5$ ,则 $3 x + 4 y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{28}{5}$ C、5 D、6

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9. 已知 $a > 2$ ，关于x的不等式 $a x^{2} - (2 + a) x + 2 > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x < \frac{2}{a}$ 或 $x > 1}$ B、 ${x ∣ \frac{2}{a} < x < 1}$ C、 ${x | x > \frac{2}{a}$ 或 $x < 1}$ D、 ${x ∣ 1 < x < \frac{2}{a}}$

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10. 小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a和 $b (a < b)$ ，其全程的平均速度为v，则下列不正确的是（）

A、 $a < v < \sqrt{a b}$ B、 $v < \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ C、 $\sqrt{a b} < v < \frac{a + b}{2}$ D、 $v = \frac{2 a b}{a + b}$

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二、多选题

11. 若集合 $M \subseteq N$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $M \cap N = M$ B、 $M \cup N = N$ C、 $M \subseteq （ M \cap N ）$ D、 $(M \cup N) \subseteq N$

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12. 下列命题为真命题的是（）

A、函数 $y = x + \frac{2}{x}$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上的值域是 $[2 \sqrt{2} ， \frac{11}{3}]$ B、当 $a c > 0$ 时， $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + b x - c = 0$ C、幂函数的图象都过点 $(1 ， 1)$ D、“ $- 2 < x < 3$ ”是“ $(x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} - 2 x - 3) < 0$ ”的必要不充分条件

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13. 关于函数 $g (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 的图象过原点 B、 $g (x)$ 是奇函数 C、 $g (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增 D、 $g (x)$ 是定义域上的增函数

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三、填空题

14. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 2} - \frac{1}{x}$ 的定义域是.

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15. 函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m + 1}$ 是幂函数，且为奇函数，则实数 $m$ 的值是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} - x^{\frac{1}{2}}, x > 0, \\ 2^{x}, x \leq 0. \end{cases}$ 则 $f (f (9)) =$ .

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17. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，则不等式 $f (2 x - 2) > f (x + 1)$ 的解集是.

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四、解答题

18. 化简或求值：

(1)、 $\frac{\sqrt{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a}}}{{(a^{\frac{1}{2}})}^{4} a^{- \frac{1}{3}}} (a > 0)$ ；

(2)、 $8^{\frac{2}{3}} + 64^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{1}{2})}^{- 3} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}}$ .

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19. 已知集合 $A = {x ∣ - 3 < x < 4}$ ， $B = {x ∣ 4 a < x < a + 3}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $A \cap B$ ､ $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数a的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a}{2^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数a的值并证明 $f (x)$ 是增函数；

(2)、若实数满足不等式 $f (\frac{1}{t - 2}) + f (- 1) > 0$ ，求t的取值范围.

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21. 二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x + b + 1 (a > 0)$ 在区间 $[0, 3]$ 上有最大值4，最小值0.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = \frac{f (x) - 4 x}{x}$ ，若 $g (x) - m x \leq 0$ 在 $x \in [\frac{1}{7}, 7]$ 时恒成立，求m的取值范围.

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22. 此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（ $x \in N$ 且 $45 \leq x \leq 75$ ），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为 $a (m - \frac{2 x}{25})$ 万元.

(1)、要使这 $100 - x$ 名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?

(2)、是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

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