浙江省台州市五校联盟2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} = 1}$ ， $B = {x | x^{2} - x = 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、{1} C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${0, 1}$

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2. 已知集合A＝{1，m²＋1}，B＝{2，4}，则“m＝ $\sqrt{3}$ ”是“A∩B＝{4}”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 命题“∀x＞0，x²＞0”的否定是（）

A、∀x＞0，x²＜0 B、∀x＞0，x²≤0 C、∃x₀＞0，x²＜0 D、∃x₀＞0，x²≤0

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4. 已知 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b$ 则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a + b \geq b + c$ B、 $a c > b c$ C、 $(a - b) c^{2} \geq 0$ D、 $\frac{c^{2}}{a - b} > 0$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x}$ 的定义域是（）

A、 $R$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$

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6. 关于x的不等式x²+ax+b≥0的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}，则ab＝（）

A、12 B、﹣12 C、6 D、﹣6

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7. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 5 x + 4}$ 的单调递增区间是（）

A、 $[\frac{5}{2}, + \infty)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $[\frac{5}{2}, 4)$ D、 $[1, \frac{5}{2})$ ， $[4, + \infty)$

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8. 正数a，b满足 $9 a + b = a b$ ，若不等式 $a + b \geq - x^{2} + 2 x + 18 - m$ 对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(- \infty ， 6]$ D、 $[6 ， + \infty)$

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9. 数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：在(-∞，0)上函数单调递减；乙：在[0，+∞] 上函数单调递增；

丙：函数f(x)的图象关于直线x=1对称；丁： f(0)不是函数的最小值．

老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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10. 若函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + 2019}{x^{2}}$ 在区间 $[2019 ， 2020]$ 上的最大值是 $M$ ，最小值是 $m$ ，则 $M - m$ （）

A、与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关 B、与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关 C、与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关 D、与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关

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二、填空题

11. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A = {1, 3}$ ， $B = {1, 2, 5}$ ，则 $A \cap B =$ .

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12. 若 $f (\sqrt{x} - 1) = x + 2 \sqrt{x}$ ，则 $f (3) =$ ．

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13. 不等式 $\frac{x + 1}{x} > 1$ 的解集为.

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14. 函数 $f (x) = 2 x - \sqrt{x + 1}$ 的最小值为.

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15. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - a)}^{2}, x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} + a, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (0)$ 是 $f (x)$ 的最小值，是a的取值范围为．

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三、双空题

16. 已知 $f (x) = x^{2} + (b - 2) x$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，则实数 $b =$ ，此函数 $f (x)$ 的单调增区间为．

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17. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则函数 $f (x) =$ ，若 $f (2 - a) > f (a - 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

18. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | a \leq x \leq a + 5}$ .

(1)、求 $C_{R} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时， f(x)＝－x＋1

(1)、求f(0)，f(2)；

(2)、求函数f(x)的解析式；

(3)、若f(a－1)<3，求实数a的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = (x - a) (2 x + 3) - 6$
（Ⅰ）若 $a = - 1$ ，求 $f (x)$ 在 $[- 3, 0]$ 上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) + 14 = 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个不相等实根，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x (a 、 b \in R)$ 满足：① $f (1 + x) = f (1 - x)$ ；②对一切 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq x$ .

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、是否存在实数 $m, n (m < n)$ 使得 $f (x)$ 的定义域为 $[m, n]$ 、值域为 $[3 m, 3 n]$ ，如果存在，求出 $m$ ， $n$ 的值；如果不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、记 $f (x)$ 在 $x \in [1, 2]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ .
（i）若 $M = f (2)$ ，求 $a$ 的取值范围；

（ii）证明： $M - m \geq \frac{1}{4}$ ；

(2)、若 $| f (f (x)) | \leq 2$ 在 $[1, 2]$ 上恒成立，求 $a$ 的最大值.

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